554 ¿Existen $4$ vectores en el plano tales que ninguno sea múltiplo de otro, pero la suma de cada par sea perpendicular a la suma de los otros dos? ¿Existen $91$ vectores no nulos en el plano tales que la suma de cualesquiera $19$ sea perpendicular a la suma de los restantes?

535 Encuentre todos los enteros $a, b, c, d$ tales que $$\begin{cases} ab - 2cd = 3 \\ ac + bd = 1\end{cases}$$

5 Se da un cuadrado con longitud de lado $a$. Una distancia $PQ$ de longitud $p$, donde $p < a$, se mueve de tal manera que sus puntos extremos están siempre sobre los lados del cuadrado. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos $PQ$?

539 Encuentre enteros distintos $m, n$ tales que $mn + n$ y $mn + m$ sean ambos cuadrados. ¿Puede encontrar tales enteros entre $988$ y $1991$?

544 ¿Existe un triángulo en el cual dos lados sean múltiplos enteros de la mediana correspondiente a dicho lado? ¿Existe un triángulo en el cual cada lado sea un múltiplo entero de la mediana correspondiente a dicho lado?

549 Un menor $h \times k$ de una tabla $n \times n$ son las $hk$ celdas que se encuentran en $h$ filas y $k$ columnas. El semiperímetro del menor es $h + k$. Un conjunto de menores, cada uno con un semiperímetro de al menos $n$, incluyen en conjunto todas las celdas de la diagonal principal. Demuestre que incluyen al menos la mitad de las celdas de la tabla.

5 Sea $A_0A_1...A_n$ ( $n > 2$ ) un polígono convexo plano de longitud $s$ con $A_0 \ne A_n$ . Sean los puntos $A_1$ , $ ...$ , $A_{n-1}$ situados en el mismo lado de la recta $g$ que pasa por $A_0$ y $A_n$ . Debe demostrarse que el área $F$ de la superficie resultante de la rotación del polígono alrededor de $g$ no es mayor que $\pi \frac{s^2}{2}$ , es decir, que se cumple $$F \le \pi \frac{s^2}{2}$$ Nota: Un polígono plano $A_0A_1...A_n$ se denomina convexo si el polígono encerrado por el segmento $A_0A_n$ delimita una superficie convexa.

6B a) Demuestre la siguiente afirmación: No existe una función polinómica $f$ tal que las dos desigualdades se cumplan para todo $x$: $$f(x) > f''(x) \,\,\, (1)$$ $$f'(x) > f''(x) \,\,\, (2)$$ b) ¿Resulta una afirmación correcta si, en la afirmación hecha en a), la desigualdad (2) se reemplaza por $f(x) > f''(x)$ (3)?

2 Sea $n$ un entero positivo, $h$ un número real y $f(x)$ un polinomio (función racional entera) con coeficientes reales de grado $n$, el cual no tiene ceros reales. Demuestre que entonces el polinomio $$F(x) = f(x) + h f'(x) + h^2 f''(x) +... + h^n f^{(n)}(x)$$ tampoco tiene ceros reales.

547 $ABC$ es un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. El circuncircunferencia de $ABO$ corta a $AC$ y $BC$ en $M$ y $N$. Demuestre que los circunradios de $ABO$ y $MNC$ son iguales.