8 Una caja contiene $p$ bolas blancas y $q$ bolas negras. Al lado de la caja hay un montón de bolas negras. Se sacan dos bolas de la caja. Si tienen el mismo color, se introduce en la caja una bola negra del montón. Si tienen colores diferentes, se devuelve la bola blanca a la caja. Este procedimiento se repite hasta que se retiran las dos últimas bolas de la caja y se introduce una última bola. ¿Cuál es la probabilidad de que esta última bola sea blanca? Amir

4 (a) Encuentre el reordenamiento $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentre el reordenamiento que minimiza $Q.$ Amir

2 Se trazan todas las diagonales en un polígono convexo de $2017$ lados. Una recta $\ell$ corta a dicho polígono pero no pasa por ninguno de sus vértices. Demuestre que la recta $\ell$ corta a un número par de diagonales de dicho polígono.

2 Sean $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , $a_n$ números reales positivos, y sea $S_k$ la suma de los productos de $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , $a_n$ tomados de $k$ en $k$. Demuestre que \[ S_k S_{n-k} \geq {n \choose k}^2 a_1 a_2 \cdots a_n \] para $k = 1$ , $2$ , $\cdots$ , $n - 1$ .

5 $100$ personas trabajan en una empresa. Sabemos que al menos $1$ y como máximo $98$ de ellas son ladrones. Esta empresa tiene $m$ almacenes, y a cada una de las $100$ personas se le ha informado la ubicación de un número distinto de cero de estos almacenes. El primer día del año, todos los ladrones informan las ubicaciones de todos los almacenes que conocen a su jefe (quien está fuera de la empresa), y su jefe ataca todos los almacenes reportados. Afortunadamente, la forma en que se informó a las personas sobre las ubicaciones de los almacenes garantiza que, después de este ataque, podemos identificar al menos a uno de los ladrones. Encuentre el valor más pequeño de $m$ que satisface esta condición.

17 (a) Encuentre el reordenamiento $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentre el reordenamiento que minimiza $Q.$ Amir

1 Sea $n \geqslant 100$ un entero. Iván escribe los números $n, n+1, \ldots, 2 n$ en tarjetas diferentes. Luego, baraja estas $n+1$ tarjetas y las divide en dos montones. Demuestre que al menos uno de los montones contiene dos tarjetas tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

16 Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros, coeficiente principal $1$ y tal que una de sus raíces es igual al producto de las otras dos. Demuestre que $2p(-1)$ es un múltiplo de $p(1)+p(-1)-2(1+p(0)).$ Amir

2 Demuestre que la desigualdad \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}\] se cumple para todos los números reales $x_1,\ldots x_n.$

3 Sea $D$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > AC$ tal que $\angle DAB = \angle CAD.$ El punto $E$ en el segmento $AC$ satisface $\angle ADE =\angle BCD,$ el punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA =\angle DBC,$ y el punto $X$ en la recta $AC$ satisface $CX = BX.$ Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD,$ respectivamente. Demuestre que las rectas $BC, EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.