2 Sea $S = \{2, 3, 4, \ldots\}$ el conjunto de los enteros mayores o iguales a $2$. ¿Existe una función $f : S \to S$ tal que \[f (a)f (b) = f (a^2 b^2 )\text{ para todo }a, b \in S\text{ con }a \ne b?\] Propuesto por Angelo Di Pasquale, Australia

1 Determine todas las sucesiones de números reales $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_{1995}$ que satisfacen: \[ 2\sqrt{a_n - (n - 1)} \geq a_{n+1} - (n - 1), \ \text{para} \ n = 1, 2, \ldots 1994, \] y \[ 2\sqrt{a_{1995} - 1994} \geq a_1 + 1. \]

2 Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestre que $$\frac{a}{\sqrt{(2a+b)(2a+c)}} +\frac{b}{\sqrt{(2b+c)(2b+a)}} +\frac{c}{\sqrt{(2c+a)(2c+b)}} \le 1 $$

1 Encuentre todas las ternas $(x,y,z)$ de enteros positivos tales que $xy+yz+zx-xyz=2015$

3 Se dice que una sucesión de números reales $a_0, a_1, . . .$ es buena si se cumplen las siguientes tres condiciones. (i) El valor de $a_0$ es un entero positivo. (ii) Para cada entero no negativo $i$ tenemos $a_{i+1} = 2a_i + 1 $ o $a_{i+1} =\frac{a_i}{a_i + 2} $. (iii) Existe un entero positivo $k$ tal que $a_k = 2014$. Encuentre el entero positivo $n$ más pequeño tal que existe una sucesión buena $a_0, a_1, . . .$ de números reales con la propiedad de que $a_n = 2014$. Propuesto por Wang Wei Hua, Hong Kong

4 Sea $n$ un entero positivo. Considere $2n$ rectas distintas en el plano, de las cuales ninguna es paralela a otra. De las $2n$ rectas, $n$ están coloreadas de azul y las otras $n$ están coloreadas de rojo. Sea $\mathcal{B}$ el conjunto de todos los puntos en el plano que yacen sobre al menos una recta azul, y $\mathcal{R}$ el conjunto de todos los puntos en el plano que yacen sobre al menos una recta roja. Demuestre que existe un círculo que interseca a $\mathcal{B}$ en exactamente $2n - 1$ puntos, y que también interseca a $\mathcal{R}$ en exactamente $2n - 1$ puntos. Propuesto por Pakawut Jiradilok y Warut Suksompong, Tailandia

3 Sean $x, y, z$ números reales positivos que satisfacen la igualdad $x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$. Encuentre el valor mínimo posible de la expresión $\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}$.

57 Sea $K$ un polígono convexo en el plano y suponga que $K$ está posicionado en el sistema de coordenadas de tal manera que \[\text{area } (K \cap Q_i) =\frac 14 \text{area } K \ (i = 1, 2, 3, 4, ),\] donde los $Q_i$ denotan los cuadrantes del plano. Demuestre que si $K$ no contiene ningún punto de red distinto de cero, entonces el área de $K$ es menor que $4.$ Amir

29 Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función continua. Suponga que la restricción de $f$ al conjunto de los números irracionales es inyectiva. ¿Qué podemos decir acerca de $f$? Responda la pregunta análoga si $f$ se restringe a los números racionales. Amir

31 Demuestre que si $n$ es un entero positivo tal que la ecuación \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] tiene una solución en enteros $x,y$, entonces tiene al menos tres soluciones de este tipo. Demuestre que la ecuación no tiene soluciones en enteros para $n=2891$.