5 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB$ es paralelo a $DE$, $BC$ es paralelo a $EF$ y $CD$ es paralelo a $FA$. Sean $R_{A}, R_{C}, R_{E}$ los circunradios de los triángulos $FAB, BCD, DEF$, respectivamente, y sea $P$ el perímetro del hexágono. Demuestre que \[ R_{A} + R_{C} + R_{E} \geq \frac{P}{2}. \]

3 Sean $x, y, z$ números reales positivos que satisfacen la igualdad $x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$. Encuentre el valor mínimo posible de la expresión $\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}$.

8 En un juego de "Pasar el pañuelo", $2024$ estudiantes se encuentran en los vértices distintos de un $2024$-gono regular. Sean \( A \) y \( B \) un par de puntos diametralmente opuestos en el $2024$-gono regular (es decir, \( A \) y \( B \) están separados por $1011$ vértices en cualquier dirección). Inicialmente, el pañuelo está en el punto \( A \). Cada segundo, el pañuelo se pasa con igual probabilidad a una de las dos posiciones adyacentes. El número esperado de segundos que tarda el pañuelo en llegar a \( B \) por primera vez es ______. ys-lg

6 Sean $p, q, n$ tres enteros positivos tales que $p + q < n$. Sea $(x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n})$ una $(n + 1)$-tupla de enteros que satisface las siguientes condiciones: (a) $x_{0} = x_{n} = 0$, y (b) Para cada $i$ con $1 \leq i \leq n$, se tiene que $x_{i} - x_{i - 1} = p$ o $x_{i} - x_{i - 1} = -q$. Demuestre que existen índices $i < j$ con $(i, j) \neq (0, n)$, tales que $x_{i} = x_{j}$.

1 Sea $ABC$ un triángulo, y sea $D$ un punto en el lado $BC$. Una recta que pasa por $D$ corta al lado $AB$ en $X$ y a la semirrecta $AC$ en $Y$. El circuncírculo del triángulo $BXD$ corta al circuncírculo $\omega$ del triángulo $ABC$ nuevamente en el punto $Z$ distinto del punto $B$. Las rectas $ZD$ y $ZY$ cortan a $\omega$ nuevamente en $V$ y $W$ respectivamente. Demuestre que $AB = V W$. Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia.

37 Las diagonales $AC$ y $CE$ del hexágono regular $ABCDEF$ están divididas por puntos interiores $M$ y $N$ respectivamente, de tal manera que \[ {AM\over AC}={CN\over CE}=r. \] Determine $r$ si $B, M$ y $N$ son colineales.

38 Se definen los números $u_{n,k} \ (1\leq k \leq n)$ de la siguiente manera: \[u_{1,1}=1, \quad u_{n,k}=\binom{n}{k} - \sum_{d \mid n, d \mid k, d>1} u_{n/d, k/d}.\] (la suma vacía se define como igual a cero). Demuestre que $n \mid u_{n,k}$ para todo número natural $n$ y para todo $k \ (1 \leq k \leq n).$ Amir

2 Sea $S = \{2, 3, 4, \ldots\}$ el conjunto de los enteros mayores o iguales a $2$. ¿Existe una función $f : S \to S$ tal que \[f (a)f (b) = f (a^2 b^2 )\text{ para todo }a, b \in S\text{ con }a \ne b?\] Propuesto por Angelo Di Pasquale, Australia

39 Sea $S$ el círculo unitario con centro $O$ y sean $P_1, P_2,\ldots, P_n$ puntos de $S$ tales que la suma de los vectores $v_i=\stackrel{\longrightarrow}{OP_i}$ es el vector nulo. Demuestre que la desigualdad $\sum_{i=1}^n XP_i \geq n$ se cumple para todo punto $X$. Amir

4 Baihao Lan tiene $2025$ cuentas de Shuzhimi. Cada cuenta está vinculada unilateralmente a exactamente otra cuenta entre estas $2025$ cuentas. Debido a la publicación excesiva, el profesor Duan Yang bloqueó $1000$ de estas cuentas. A las $1025$ cuentas restantes se les asignaron permisos de habla de tal manera que, para cualesquiera dos cuentas no bloqueadas $X$ e $Y$, si $X$ está vinculada a $Y$, entonces $X$ e $Y$ deben tener el mismo permiso de habla. Encuentre el entero positivo más grande $M$ tal que, sin importar cómo estén vinculadas las $2025$ cuentas, el profesor Duan Yang pueda bloquear apropiadamente $1000$ cuentas y luego asignar a las cuentas restantes $M$ tipos diferentes de permisos de habla de acuerdo con el requisito anterior. Propuesto por Junlin Wang