es: $f$ es una función inyectiva y estrictamente monótona en todo $\mathbb{R}$. La respuesta a la segunda pregunta: no se sigue que $f$ sea una función inyectiva en $\mathbb{R}$ y se dará un contraejemplo. Sea $f$ inyectiva en $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$. Demostremos primero que $f$ es estrictamente monótona en el conjunto de los números irracionales, es decir, el Lema 1. Se cumple exactamente una de las dos alternativas siguientes: (a) $\forall x_1,x_2 \in \mathbb{R}-\mathbb{Q},\, x_1 < x_2 \, \Rightarrow \, f(x_1) < f(x_2) $. (b) $\forall x_1,x_2 \in \mathbb{R}-\mathbb{Q},\, x_1 < x_2 \, \Rightarrow \, f(x_1) > f(x_2) $. Demostración. La idea principal utiliza el hecho de que los números irracionales son mucho más numerosos que los racionales. Supongamos que esta afirmación no es cierta. En ese caso, es fácil ver que existen números irracionales $x_1f(x_3)$ o (2) $f(x_1) > f(x_2)$ y $f(x_2) < f(x_3)$. Supongamos que se cumple el caso (1), el caso (2) es similar. Sea $y_0 \in \left(f(x_1),f(x_2)\right) \cap \left(f(x_3),f(x_2)\right)$. Debido a que $f$ es continua, $\exists x_0 \in (x_1,x_2),\, y_0=f(x_0)$ y $\exists \delta >0$ tal que $ \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\, \Rightarrow \, x_1

1982 IMO Longlists 1982 P29

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