42 Sea $\mathfrak F$ la familia de todos los subconjuntos de $k$ elementos del conjunto $\{1, 2, \ldots, 2k + 1\}$. Demuestre que existe una función biyectiva $f :\mathfrak F \to \mathfrak F$ tal que para todo $A \in \mathfrak F$, los conjuntos $A$ y $f(A)$ son disjuntos. Amir

43 (a) ¿Cuál es el número máximo de ángulos agudos en un polígono convexo? (b) Considere $m$ puntos en el interior de un $n$-gono convexo. El $n$-gono está particionado en triángulos cuyos vértices se encuentran entre los $n + m$ puntos dados (los vértices del $n$-gono y los puntos dados). Cada uno de los $m$ puntos en el interior es un vértice de al menos un triángulo. Encuentre el número de triángulos obtenidos. Amir

44 Sean $A$ y $B$ las posiciones de dos barcos $M$ y $N$, respectivamente, en el momento en que $N$ vio a $M$ moviéndose con velocidad constante $v$ siguiendo la línea $Ax$. En busca de ayuda, $N$ se mueve con velocidad $kv$ ($k < 1$) a lo largo de la línea $By$ con el fin de encontrarse con $M$ lo antes posible. Denotemos por $C$ el punto de encuentro de los dos barcos, y establezcamos \[AB = d, \angle BAC = \alpha, 0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2}.\] Determine el ángulo $\angle ABC = \beta$ y el tiempo $t$ que $N$ necesita para encontrarse con $M$. Amir

46 Demuestre que si se traza una diagonal en un cuadrilátero inscrito en un círculo, la suma de los radios de los círculos inscritos en los dos triángulos así formados es la misma, sin importar qué diagonal se trace. Amir

47 Evalúe $\sec'' \frac{\pi}4 +\sec'' \frac{3\pi}4+\sec'' \frac{5\pi}4+\sec'' \frac{7\pi}4$. (Aquí $\sec''$ significa la segunda derivada de $\sec$). Amir

49 Simplifique \[\sum_{k=0}^n \frac{(2n)!}{(k!)^2((n-k)!)^2}.\] Amir

52 Se nos dan $2n$ números naturales \[1, 1, 2, 2, 3, 3, \ldots, n - 1, n - 1, n, n.\] Encuentre todos los $n$ para los cuales estos números pueden ser dispuestos en una fila de tal manera que, para cada $k \leq n$, haya exactamente $k$ números entre los dos números $k$. Amir

51 Sean $n$ números $x_1, x_2, \ldots, x_n$ elegidos de tal manera que $1 \geq x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_n \geq 0$. Demuestre que \[(1 + x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^\alpha \leq 1 + x_1^\alpha+ 2^{\alpha-1}x_2^\alpha+ \cdots+ n^{\alpha-1}x_n^\alpha\] si $0 \leq \alpha \leq 1$. Amir

53 Considere sucesiones infinitas $\{x_n\}$ de números reales positivos tales que $x_0=1$ y $x_0\ge x_1\ge x_2\ge\ldots$ . a) Demuestre que para toda sucesión de este tipo existe un $n\ge1$ tal que: \[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}\ge3.999. \] b) Encuentre una sucesión de este tipo tal que para todo $n$: \[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}<4. \]

54 Los triángulos rectángulos $ABC$ y $AB_1C_1$ son semejantes y tienen orientación opuesta. Los ángulos rectos están en $C$ y $C_1$, y además tenemos $\angle CAB = \angle C_1AB_1$. Sea $M$ el punto de intersección de las rectas $BC_1$ y $B_1C$. Demuestre que si las rectas $AM$ y $CC_1$ existen, son perpendiculares. Amir