Sea $S=\{1,2,3,...,n\}$ y sean ${A}_{1},{A}_{2},...,{A}_{m}$ subconjuntos de $S$ con $k$ elementos. Sean ${B}_{1},{B}_{2},...,{B}_{m}$ subconjuntos de $S$ con $l$ elementos. Sea ${k}+{l}\le{n}$. Si para todo ${i}\neq{j}$ se cumple que ${A}_{i}\cap{B}_{i}=\emptyset$ y ${A}_{i}\cap{B}_{j}\neq\emptyset$, demuestre que ${m}\le\binom{k+l}{k}$.

1 Encuentre todas las funciones inyectivas $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tales que para todo número real $x$ y todo entero positivo $n$, $$ \left|\sum_{i=1}^n i\left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)\right|<2016$$ (Macedonia)

1 Sean $AD, BE, CF$ segmentos cuyos puntos medios se encuentran sobre la misma recta $\ell$. Los puntos $X, Y, Z$ yacen sobre las rectas $EF, FD, DE$ respectivamente, tales que $AX \parallel BY \parallel CZ \parallel \ell$. Demuestre que $X, Y, Z$ son colineales. Tran Quang Hung, Escuela Secundaria de Ciencias Naturales, Universidad Nacional de Hanói

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB<CD$. Las diagonales se intersecan en el punto $F$ y las rectas $AD$ y $BC$ se intersecan en el punto $E$. Sean $K$ y $L$ las proyecciones ortogonales de $F$ sobre las rectas $AD$ y $BC$ respectivamente, y sean $M$, $S$ y $T$ los puntos medios de $EF$, $CF$ y $DF$ respectivamente. Demuestre que el segundo punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $MKT$ y $MLS$ yace sobre el segmento $CD$. (Grecia - Silouanos Brazitikos)

5 Sean los puntos $A, B$ y $C$ situados en la parábola $\Delta$ tales que el punto $H$, ortocentro del triángulo $ABC$, coincide con el foco de la parábola $\Delta$. Demuestre que al cambiar la posición de los puntos $A, B$ y $C$ en $\Delta$ de modo que el ortocentro permanezca en $H$, el inradio del triángulo $ABC$ permanece constante. Propuesto por Mahdi Etesamifard

3 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y sus diagonales tienen un punto común $M$. Se sabe que los circuncentros de los triángulos $MAB,MBC,MCD,MDE,MEF,MFA$ yacen sobre un círculo. Demuestre que los cuadriláteros $ABDE,BCEF,CDFA$ tienen áreas iguales.

5 Determine todas las sucesiones $a_0 , a_1 , a_2 , \ldots$ de enteros positivos con $a_0 \ge 2015$ tales que para todo entero $n\ge 1$ : (i) $a_{n+2}$ es divisible por $a_n$ ; (ii) $|s_{n+1} - (n + 1)a_n | = 1$ , donde $s_{n+1} = a_{n+1} - a_n + a_{n-1} - \cdots + (-1)^{n+1} a_0$ . Propuesto por Pakawut Jiradilok y Warut Suksompong, Tailandia

1 Un rectángulo dado $ R$ se divide en $mn$ rectángulos pequeños mediante líneas rectas paralelas a sus lados. (Las distancias entre las líneas paralelas pueden no ser iguales). ¿Cuál es el número mínimo de áreas de rectángulos seleccionados apropiadamente que deben conocerse para determinar el área de $ R$ ?

2 Se da una elipse $e$ en el plano. Encuentre el lugar geométrico de todos los puntos $P$ en el espacio tales que el cono de vértice $P$ y directriz $e$ sea un cono circular recto.

4 Sea $ABCD$ un paralelogramo y sea $K$ un punto en la recta $AD$ tal que $BK=AB$. Suponga que $P$ es un punto arbitrario en $AB$, y la mediatriz de $PC$ corta al circuncírculo del triángulo $APD$ en los puntos $X$, $Y$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $ABK$ pasa por el ortocentro del triángulo $AXY$. Propuesto por Iman Maghsoudi