1 En un juego, un jugador puede subir hasta 16 niveles. En cada nivel, el jugador puede mejorar una habilidad gastando ese nivel en ella. Existen tres tipos de habilidades; sin embargo, una habilidad no puede ser mejorada antes del nivel 6 por primera vez. Y esa habilidad especial no puede ser mejorada antes del nivel 11. Las otras habilidades pueden ser mejoradas en cualquier nivel, cualquier cantidad de veces (posiblemente 0), pero la habilidad especial necesita ser mejorada exactamente dos veces. ¿De cuántas maneras pueden ser mejoradas estas habilidades?

3 Sea $t \ge 3$ un número real dado y suponga que el polinomio $f(x)$ satisface $|f(k)-t^k|<1$, para $k=0,1,2,\ldots ,n$. Demuestre que el grado de $f(x)$ es al menos $n$.

5 El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a $AC$ en $D$. Demuestre que el círculo que es tangente a los rayos $[BD)$, $[DC)$ y a la circunferencia circunscrita de $ABC$ es igual al excírculo de $ABC$ correspondiente al ángulo $\angle{B}$.

6 $1, 2, \dots, 40$ están ubicados en un círculo de tal manera que para cualesquiera números secuenciales $a, b, c$, ${41} \mid {b}^{2} - {a}{c}$. ¿Cuántas ubicaciones distintas son posibles? (Las ubicaciones rotadas y simétricas se consideran iguales).

1 ¿Existe una función $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(x+f(y))=f(x)+\sin y$, para todos los números reales $x,y$?

1 Para $ a_i \in \mathbb{Z}^ +$ , $ i = 1, \ldots, k$ , y $ n = \sum^k_{i = 1} a_i$ , sea $ d = \gcd(a_1, \ldots, a_k)$ el máximo común divisor de $ a_1, \ldots, a_k$ . Demuestre que $ \frac {d} {n} \cdot \frac {n!}{\prod\limits^k_{i = 1} (a_i!)}$ es un entero. Dan Schwarz, Rumania

2 Un conjunto $ S$ de puntos en el espacio satisface la propiedad de que todas las distancias por pares entre los puntos en $ S$ son distintas. Dado que todos los puntos en $ S$ tienen coordenadas enteras $ (x,y,z)$ donde $ 1 \leq x,y, z \leq n,$ demuestre que el número de puntos en $ S$ es menor que $ \min \Big((n + 2)\sqrt {\frac {n}{3}}, n \sqrt {6}\Big).$ Dan Schwarz, Rumania

5 En un tablero de $8$ casillas —como el que se muestra en la figura— hay inicialmente una ficha en cada casilla. $ \begin{tabular}{ | l | c | c |c | c| c | c | c | r| } \hline & & & & & & & \\ \hline \end{tabular} $ Un movimiento consiste en elegir dos fichas y mover una de ellas una casilla a la derecha y la otra una casilla a la izquierda. Si después de $4$ movimientos las $8$ fichas están distribuidas en solo $2$ casillas, determine cuáles pueden ser esas casillas y cuántas fichas hay en cada una.

2 Sea un rectángulo de papel $ABCD$; el lado $AB$ mide $5$ cm y el lado $BC$ mide $9$ cm. Realizamos tres dobleces: 1. Llevamos el lado $AB$ sobre el lado $BC$ y llamamos $P$ al punto en el lado $BC$ que coincide con $A$. Se forma entonces un trapecio rectángulo $BCDQ$. 2. Doblamos de modo que $B$ y $Q$ coincidan. Se forma un polígono de $5$ lados $RPCDQ$. 3. Doblamos de nuevo haciendo coincidir $D$ con $C$ y $Q$ con $P$. Un nuevo trapecio rectángulo $RPCS$. Después de realizar estos dobleces, hacemos un corte perpendicular a $SC$ por su punto medio $T$, obteniendo el trapecio rectángulo $RUTS$. Calcule el área de la figura que aparece al desplegar el último trapecio $RUTS$.

3 Dados cuatro puntos $ A_1, A_2, A_3, A_4$ en el plano, no tres colineales, tales que \[ A_1A_2 \cdot A_3 A_4 = A_1 A_3 \cdot A_2 A_4 = A_1 A_4 \cdot A_2 A_3, \] denote por $ O_i$ el circuncentro del $ \triangle A_j A_k A_l$ con $ \{i,j,k,l\} = \{1,2,3,4\}.$ Suponiendo que $ \forall i A_i \neq O_i ,$ demuestre que las cuatro rectas $ A_iO_i$ son concurrentes o paralelas. Nikolai Ivanov Beluhov, Bulgaria