4 Sea $n$ un entero positivo. Se nos da una tabla de $2n \times 2n$. Cada celda está coloreada con uno de $2n^2$ colores de tal manera que cada color se utiliza exactamente dos veces. Jana se encuentra en una de las celdas. Hay una barra de chocolate en una de las otras celdas. Jana desea llegar a la celda con la barra de chocolate. En cada paso, ella solo puede moverse de una de las siguientes dos maneras: o camina a una celda adyacente o se teletransporta a la otra celda con el mismo color que su celda actual. (Jana puede moverse a una celda adyacente del mismo color ya sea caminando o teletransportándose). Determine si Jana puede cumplir su deseo, independientemente de la configuración inicial, si tiene que alternar entre las dos formas de moverse y debe comenzar con una teletransportación.

3 Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una sucesión infinita de enteros positivos, y sea $N$ un entero positivo. Suponga que, para cada $n > N$, $a_n$ es igual al número de veces que $a_{n-1}$ aparece en la lista $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Demuestre que al menos una de las sucesiones $a_1, a_3, a_5, \dots$ y $a_2, a_4, a_6, \dots$ es eventualmente periódica. (Una sucesión infinita $b_1, b_2, b_3, \dots$ es eventualmente periódica si existen enteros positivos $p$ y $M$ tales que $b_{m+p} = b_m$ para todo $m \ge M$.)

3 Sea el triángulo $ABC$ con $AB<AC$ que tiene ortocentro $H$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. La bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$ corta a $CH$ en $X$, y la bisectriz externa del ángulo $\angle BAC$ corta a $BH$ en $Y$. Los círculos $(BHX)$ y $(CHY)$ se cortan de nuevo en $Z$. Demuestre que $\angle HZM=90^{\circ}$. Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

3 Sean $P$ y $Q$ los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$; sean $N$ y $M$ los puntos de intersección de la recta $PQ$ con las rectas $AB$ y $CD$, respectivamente. Demuestre que los círculos que contienen a los triángulos $NAP$, $NBQ$, $MQD$ y $MPC$ se intersecan en un mismo punto.

2 En el triángulo $ABC$, el punto $A_1$ se encuentra en el lado $BC$ y el punto $B_1$ se encuentra en el lado $AC$. Sean $P$ y $Q$ puntos en los segmentos $AA_1$ y $BB_1$, respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $AB$. Sea $P_1$ un punto en la recta $PB_1$, tal que $B_1$ se encuentra estrictamente entre $P$ y $P_1$, y $\angle PP_1C=\angle BAC$. De manera similar, sea $Q_1$ el punto en la recta $QA_1$, tal que $A_1$ se encuentra estrictamente entre $Q$ y $Q_1$, y $\angle CQ_1Q=\angle CBA$. Demuestre que los puntos $P, Q, P_1$ y $Q_1$ son concíclicos. Propuesto por Anton Trygub, Ucrania

4 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC < BC$. Sean $I$ el incentro y $\omega$ el incírculo del triángulo $ABC$, respectivamente. Sea $X$ el punto en la recta $BC$ distinto de $C$ tal que la recta que pasa por $X$ y es paralela a $AC$ es tangente a $\omega$. De manera similar, sea $Y$ el punto en la recta $BC$ distinto de $B$ tal que la recta que pasa por $Y$ y es paralela a $AB$ es tangente a $\omega$. Sea $AI$ la recta que interseca al circuncírculo del triángulo $ABC$ en $P \ne A$. Sean $K$ y $L$ los puntos medios de $AC$ y $AB$, respectivamente. Demuestre que $\angle KIL + \angle YPX = 180^{\circ}$. Propuesto por Dominik Burek, Polonia

6 Sea $I$ el incentro del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$. El incírculo $\omega$ de $ABC$ es tangente a los lados $BC, CA$ y $AB$ en $D, E$ y $F$, respectivamente. La recta que pasa por $D$ perpendicular a $EF$ corta a $\omega$ en $R$. La recta $AR$ corta a $\omega$ nuevamente en $P$. Los circuncírculos de los triángulos $PCE$ y $PBF$ se cortan nuevamente en $Q$. Demuestre que las rectas $DI$ y $PQ$ se cortan en la recta que pasa por $A$ perpendicular a $AI$. Propuesto por Anant Mudgal, India

3b Encuentre todas las funciones reales $f$ definidas sobre los números reales excepto el cero, que satisfacen $f(2019) = 1$ y $f(x)f(y)+ f\left(\frac{2019}{x}\right) f\left(\frac{2019}{y}\right) =2f(xy)$ para todo $x,y \ne 0$

5 El caracol Turbo juega en un tablero con $2024$ filas y $2023$ columnas. Hay monstruos ocultos en $2022$ de las celdas. Inicialmente, Turbo no sabe dónde están los monstruos, pero sabe que hay exactamente un monstruo en cada fila, excepto en la primera y en la última, y que cada columna contiene como máximo un monstruo. Turbo realiza una serie de intentos para ir desde la primera fila hasta la última. En cada intento, elige comenzar en cualquier celda de la primera fila y luego se mueve repetidamente a una celda adyacente que comparta un lado común. (Se le permite regresar a una celda visitada anteriormente). Si llega a una celda con un monstruo, su intento termina y es transportado de regreso a la primera fila para comenzar un nuevo intento. Los monstruos no se mueven y Turbo recuerda si cada celda que ha visitado contiene o no un monstruo. Si llega a cualquier celda en la última fila, su intento termina y el juego finaliza. Determine el valor mínimo de $n$ para el cual Turbo tiene una estrategia que garantiza llegar a la última fila en el intento $n$ o antes, independientemente de la ubicación de los monstruos. Propuesto por Cheuk Hei Chu, Hong Kong

6 $1, 2, \dots, 40$ están ubicados en un círculo de tal manera que para cualesquiera números secuenciales $a, b, c$, ${41} \mid {b}^{2} - {a}{c}$. ¿Cuántas ubicaciones distintas son posibles? (Las ubicaciones rotadas y simétricas se consideran iguales).