8 Llamamos a un entero positivo $\textit{cheesy}$ si podemos obtener el promedio de los dígitos en su representación decimal colocando un separador decimal después del dígito más a la izquierda. Demuestre que solo existe una cantidad finita de números $\textit{cheesy}$.

8 Un cuadrado latino (resp. cubo) de orden $n$ es una matriz de $n\times n$ (resp. matriz de $n\times n\times n$) rellena con números diferentes $a_1$ , $a_2$ , $...$ , $a_n$ que aparecen exactamente una vez en cada fila paralela a cualquiera de sus lados. Los enteros positivos $h_1$ , $h_2$ , $...$ , $h_k$ son tales que $n = h_1 +... + h_k$. Cada uno de los lados de un cuadrado latino de orden $n$ se divide en partes de longitud $h_1$ , $h_2$ , $...$ , $h_k$ de modo que el cuadrado se corta en partes rectangulares como se muestra en la figura. Se sabe que para todo $i$, las partes cuadradas $h_i \times h_i$ que cubren la diagonal son cuadrados latinos de orden $h_i$ y los conjuntos de números en ellos son disjuntos. Demuestre que entonces existe un cubo latino de orden $n$ con una propiedad similar: sus lados pueden dividirse en partes de longitud $h_1$ , $h_2$ , $...$ , $h_k$ de modo que los cubos $h_i \times h_i \times h_i$ que cubren su diagonal sean cubos latinos con conjuntos de números disjuntos. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/8/d/9488944d686a5e53008039f222840caf61ee5f.png

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico que no es un trapecio y cuyas diagonales se cortan en $E$. Los puntos medios de $AB$ y $CD$ son $F$ y $G$ respectivamente, y $\ell$ es la recta que pasa por $G$ y es paralela a $AB$. Los pies de las perpendiculares desde $E$ a las rectas $\ell$ y $CD$ son $H$ y $K$, respectivamente. Demuestre que las rectas $EF$ y $HK$ son perpendiculares.

2 Dados números reales $x,y,z$ tales que $x+y+z=0$, demuestre que \[\dfrac{x(x+2)}{2x^2+1}+\dfrac{y(y+2)}{2y^2+1}+\dfrac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AC = BD$ y los lados $AB$ y $CD$ no son paralelos. Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran, respectivamente, en los segmentos $BP$ y $AP$ tales que $PC=PE$ y $PD=PF$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo determinado por las rectas $AB, CD, EF$ es tangente al circuncírculo del triángulo $ABP$.

3 Sea $S$ un conjunto finito de enteros positivos que tiene la siguiente propiedad: si $x$ es un elemento de $S$, entonces también lo son todos los divisores positivos de $x$. Un subconjunto no vacío $T$ de $S$ es bueno si, siempre que $x,y\in T$ y $x<y$, el cociente $y/x$ es una potencia de un número primo. Un subconjunto no vacío $T$ de $S$ es malo si, siempre que $x,y\in T$ y $x<y$, el cociente $y/x$ no es una potencia de un número primo. Un conjunto de un solo elemento se considera tanto bueno como malo. Sea $k$ el mayor tamaño posible de un subconjunto bueno de $S$. Demuestre que $k$ es también el menor número de subconjuntos malos disjuntos dos a dos cuya unión es $S$.

7 Determine todas las funciones $f : \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ tales que $f$ es creciente (no necesariamente de forma estricta) y los números $f(n)+n+1$ y $f(f(n))-f(n)$ son ambos cuadrados perfectos para todo entero positivo $n$.

4 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo de área $1$, cuyos lados opuestos son paralelos. Las rectas $AB$, $CD$ y $EF$ se cortan por pares para determinar los vértices de un triángulo. De manera similar, las rectas $BC$, $DE$ y $FA$ se cortan por pares para determinar los vértices de otro triángulo. Demuestre que el área de al menos uno de estos dos triángulos es al menos $3/2$.

3 Sea $n$ un entero positivo. Existen $n$ ternas ordenadas $$(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), \dots, (x_n, y_n, z_n)$$ donde cada coordenada es un entero entre $1$ y $100$ (inclusive), que satisfacen la siguiente condición: Para toda sucesión infinita $(a_1, a_2, a_3, \dots)$ de enteros entre $1$ y $100$, existen un entero positivo $i$ y un índice $j$ (con $1 \leqslant j \leqslant n$) tales que $(a_i, a_{i+1}, a_{i+2}) = (x_j, y_j, z_j)$. Determine el valor mínimo posible de $n$.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ABO$ y $ACO$, respectivamente. El circuncírculo del $\triangle AO_1O_2$ corta al segmento $BC$ en dos puntos distintos $P$ y $Q$, de tal manera que los cuatro puntos $B, P, Q, C$ aparecen en este orden a lo largo de $BC$. Sea $O_3$ el circuncentro del $\triangle OPQ$. Demuestre que los puntos $A, O, O_3$ son colineales.