4 En el triángulo $ABC$, los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Las bisectrices de los ángulos interiores $\angle ABC$ y $\angle BCA$ cortan a la recta $MN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $p$ la tangente al círculo circunscrito del triángulo $AMP$ que pasa por el punto $P$, y sea $q$ la tangente al círculo circunscrito del triángulo $ANQ$ que pasa por el punto $Q$. Demuestre que las rectas $p$ y $q$ se cortan en la recta $BC$.

6 Sean $ AH_1, BH_2, CH_3$ las alturas de un triángulo acutángulo $ ABC$. Su incírculo toca los lados $ BC, AC$ y $ AB$ en $ T_1, T_2$ y $ T_3$ respectivamente. Considere las imágenes simétricas de las rectas $ H_1H_2, H_2H_3$ y $ H_3H_1$ con respecto a las rectas $ T_1T_2, T_2T_3$ y $ T_3T_1$. Demuestre que estas imágenes forman un triángulo cuyos vértices yacen sobre el incírculo de $ ABC$.

3 Sea $S$ un conjunto finito de enteros positivos que tiene la siguiente propiedad: si $x$ es un elemento de $S$, entonces también lo son todos los divisores positivos de $x$. Un subconjunto no vacío $T$ de $S$ es bueno si, siempre que $x,y\in T$ y $x<y$, el cociente $y/x$ es una potencia de un número primo. Un subconjunto no vacío $T$ de $S$ es malo si, siempre que $x,y\in T$ y $x<y$, el cociente $y/x$ no es una potencia de un número primo. Un conjunto de un solo elemento se considera tanto bueno como malo. Sea $k$ el mayor tamaño posible de un subconjunto bueno de $S$. Demuestre que $k$ es también el menor número de subconjuntos malos disjuntos dos a dos cuya unión es $S$.

$3n$ personas se reunieron en una fiesta, con $n \ge 2$. Cada persona le desagrada exactamente a otra persona presente en la fiesta (pero no necesariamente de forma recíproca, es decir, puede ocurrir que a $A$ le desagrade $B$ aunque a $B$ no le desagrade $A$) y le agradan todas las demás. Demuestre que los invitados pueden sentarse en tres mesas de tal manera que a cada invitado le agraden todas las personas en su mesa.

2 Dados números reales $x,y,z$ tales que $x+y+z=0$, demuestre que \[\dfrac{x(x+2)}{2x^2+1}+\dfrac{y(y+2)}{2y^2+1}+\dfrac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

2 Decimos que un número de 20 dígitos es especial si es imposible representarlo como el producto de un número de 10 dígitos por un número de 11 dígitos. Encuentre la cantidad máxima de números consecutivos que son especiales.

7 Determine todas las funciones $f : \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ tales que $f$ es creciente (no necesariamente de forma estricta) y los números $f(n)+n+1$ y $f(f(n))-f(n)$ son ambos cuadrados perfectos para todo entero positivo $n$.

6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AC = BD$ y los lados $AB$ y $CD$ no son paralelos. Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran, respectivamente, en los segmentos $BP$ y $AP$ tales que $PC=PE$ y $PD=PF$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo determinado por las rectas $AB, CD, EF$ es tangente al circuncírculo del triángulo $ABP$.

8 Llamamos a un entero positivo $\textit{cheesy}$ si podemos obtener el promedio de los dígitos en su representación decimal colocando un separador decimal después del dígito más a la izquierda. Demuestre que solo existe una cantidad finita de números $\textit{cheesy}$.

3 ¿Para qué números reales $k > 1$ existe un conjunto acotado de números reales positivos $S$ con al menos $3$ elementos tal que $$k(a - b)\in S$$ para todo $a,b\in S$ con $a > b$? Observación: Un conjunto de números reales positivos $S$ es acotado si existe un número real positivo $M$ tal que $x < M$ para todo $x \in S.$