2 La tangente en $C$ a $\Omega$, el circuncírculo del triángulo escaleno $ABC$, corta a $AB$ en $D$. Por el punto $D$, se traza una recta que corta a los segmentos $AC$ y $BC$ en $K$ y $L$ respectivamente. En el segmento $AB$ se marcan los puntos $M$ y $N$ tales que $AC \parallel NL$ y $BC \parallel KM$. Las rectas $NL$ y $KM$ se cortan en el punto $P$, el cual se encuentra dentro del triángulo $ABC$. Sea $\omega$ el circuncírculo de $MNP$. Suponga que $CP$ corta a $\omega$ nuevamente en $Q$. Demuestre que $DQ$ es tangente a $\omega$.

3 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $x,y,z$ para los cuales la suma de los dígitos en la representación decimal de $~4x^4+y^4-z^2+4xyz$ $~$ es a lo sumo $2$. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

5 Sean $n_1$ , $n_2$ , $\ldots$ , $n_{1998}$ enteros positivos tales que \[ n_1^2 + n_2^2 + \cdots + n_{1997}^2 = n_{1998}^2. \] Demuestre que al menos dos de los números son pares. Iris

2 La mediatriz del lado $AC$ del triángulo $ABC$ corta a $BC$ y $AB$ en los puntos $A_1$ y $C_1$ respectivamente. Sean $O$ y $O_1$ los circuncentros de los triángulos $ABC$ y $A_1BC_1$ respectivamente. Demuestre que $C_1O_1\perp AO$.

1 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C=90^\circ$. Una recta que une el punto medio de su altura $CH$ y el vértice $A$ corta a $CB$ en el punto $K$. Sea $L$ el punto medio de $BC$, y $T$ un punto del segmento $AB$ tal que $\angle ATK=\angle LTB$. Se sabe que $BC=1$. Encuentre el perímetro del triángulo $KTL$.

2 Sean $A$ y $B$ los dos focos de una elipse y sea $P$ un punto en dicha elipse. Demuestre que los radios focales de $P$ (es decir, los segmentos $\overline{AP}$ y $\overline{BP}$) forman ángulos iguales con la tangente a la elipse en $P$.

4 Decimos que un número es supersticioso cuando es igual a $13$ veces la suma de sus dígitos. Encuentre todos los números supersticiosos.

6 Varias servilletas rectangulares azules y verdes (quizás de diferentes tamaños) con lados verticales y horizontales fueron colocadas en el plano. Resultó que cualesquiera dos servilletas de diferentes colores pueden ser atravesadas por una línea vertical u horizontal (quizás a lo largo del borde). Demuestre que es posible elegir un color, dos líneas horizontales y una línea vertical, de tal manera que cada servilleta del color elegido sea intersectada por al menos una de las líneas elegidas.

8-9.3 ¿Es posible dividir todos los subconjuntos no vacíos de un conjunto de 10 elementos en ternas de modo que, en cada terna, dos de los subconjuntos sean disjuntos y su unión dé como resultado el tercero? Propuesto por Vladislav Frank Fedor

4 Determine el triángulo con lados $a,b,c$ y circunradio $R$ para el cual $R(b+c) = a\sqrt{bc}$. Romania Valentin