16 Sea $Q$ un cuadrado con longitud de lado $6$. Encuentre el entero positivo $n$ más pequeño tal que en $Q$ existe un conjunto $S$ de $n$ puntos con la propiedad de que cualquier cuadrado de lado $1$ completamente contenido en $Q$ contiene en su interior al menos un punto de $S$. Amir

60 Dado el entero $n > 1$ y el número real $a > 0$, determine el máximo de $\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}$ sobre todos los números no negativos $x_i$ cuya suma es $a.$ Amir

73 En un plano se da un número finito de círculos iguales. Estos círculos son mutuamente disjuntos (pueden ser tangentes externamente). Demuestre que se pueden usar como máximo cuatro colores para colorear estos círculos de modo que dos círculos tangentes entre sí sean de colores diferentes. ¿Cuál es el número más pequeño de círculos que requiere cuatro colores?

64 Desde un punto $P$ en el arco $BC$ del circuncírculo del triángulo $ABC$, se construye $PX$ perpendicular a $BC$, $PY$ perpendicular a $AC$ y $PZ$ perpendicular a $AB$ (prolongando los lados si fuera necesario). Demuestre que $\frac{BC}{PX}=\frac{AC}{PY}+\frac{AB}{PZ}$.

61 Sean $\{a_i\}$ y $\{b_i\}$ dos sucesiones no decrecientes de $n$ números reales cada una, tales que $a_i\le a_{i+1}$ para cada $1\le i\le n-1$, y $b_i\le b_{i+1}$ para cada $1\le i\le n-1$, y $\sum_{k=1}^{m}{a_k}\ge \sum_{k=1}^{m}{b_k}$ donde $m\le n$ con igualdad para $m=n$. Para una función convexa $f$ definida sobre los números reales, demuestre que $\sum_{k=1}^{n}{f(a_k)}\le \sum_{k=1}^{n}{f(b_k)}$.

72 Sea $f (x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Demuestre que si $f (x)= 1979$ para cuatro valores enteros distintos de $x$, entonces $f (x)$ no puede ser igual a $2\times 1979$ para ningún valor entero de $x$.

65 Dada una función $f$ tal que $f(x)\le x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ y $f(x+y)\le f(x)+f(y)$ para todo $\{x,y\}\in\mathbb{R}$, demuestre que $f(x)=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$.

71 Dos círculos en un plano se intersecan. $A$ es uno de los puntos de intersección. Partiendo simultáneamente desde $A$, dos puntos se mueven con velocidad constante, cada uno recorriendo su propio círculo en el mismo sentido. Los dos puntos regresan a $A$ simultáneamente después de una revolución. Demuestre que existe un punto fijo $P$ en el plano tal que los dos puntos son siempre equidistantes de $P.$

70 Hay $1979$ triángulos equiláteros: $T_1, T_2, . . . , T_{1979}$. Un lado del triángulo $T_k$ es igual a $\frac{1}{k}$, $k = 1, 2, . . . , 1979$. ¿Para qué valores de un número $a$ se pueden colocar todos estos triángulos dentro del triángulo equilátero con longitud de lado $a$ de modo que no se intersecten (se permiten puntos de contacto)?

19 Para $k = 1, 2, \ldots$ considere las $k$-tuplas $(a_1, a_2, \ldots, a_k)$ de enteros positivos tales que \[a_1 + 2a_2 + \cdots + ka_k = 1979.\] Demuestre que hay tantas $k$-tuplas con $k$ impar como $k$-tuplas con $k$ par. Amir