39 Una expedición en el desierto acampa en el borde del mismo y debe proveer un litro de agua potable a otro miembro de la expedición, que reside a una distancia de $n$ días de caminata del campamento, bajo las siguientes condiciones: $(i)$ Cada miembro de la expedición puede cargar como máximo $3$ litros de agua. $(ii)$ Cada miembro debe beber un litro de agua por cada día que pase en el desierto. $(iii)$ Todos los miembros deben regresar al campamento. ¿Cuánta agua necesitan (como mínimo) para lograrlo?

21 Sea $E$ el conjunto de todas las aplicaciones biyectivas de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ que satisfacen \[f(t) + f^{-1}(t) = 2t, \qquad \forall t \in \mathbb R,\] donde $f^{-1}$ es la aplicación inversa de $f$. Encuentre todos los elementos de $E$ que son aplicaciones monótonas. Amir

65 Dada una función $f$ tal que $f(x)\le x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ y $f(x+y)\le f(x)+f(y)$ para todo $\{x,y\}\in\mathbb{R}$, demuestre que $f(x)=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$.

66 Encuentre todos los números naturales $n$ para los cuales $2^8 +2^{11} +2^n$ es un cuadrado perfecto. Amir

61 Sean $\{a_i\}$ y $\{b_i\}$ dos sucesiones no decrecientes de $n$ números reales cada una, tales que $a_i\le a_{i+1}$ para cada $1\le i\le n-1$, y $b_i\le b_{i+1}$ para cada $1\le i\le n-1$, y $\sum_{k=1}^{m}{a_k}\ge \sum_{k=1}^{m}{b_k}$ donde $m\le n$ con igualdad para $m=n$. Para una función convexa $f$ definida sobre los números reales, demuestre que $\sum_{k=1}^{n}{f(a_k)}\le \sum_{k=1}^{n}{f(b_k)}$.

60 Dado el entero $n > 1$ y el número real $a > 0$, determine el máximo de $\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}$ sobre todos los números no negativos $x_i$ cuya suma es $a.$ Amir

40 Un polinomio $P(x)$ tiene grado a lo sumo $2k$, donde $k = 0, 1, 2, \cdots$. Dado que para un entero $i$, la desigualdad $-k \le i \le k$ implica $|P(i)| \le 1$, demuestre que para todos los números reales $x$, con $-k \le x \le k$, se cumple la siguiente desigualdad: \[|P(x)| < (2k + 1)\dbinom{2k}{k}\]

15 Sea $n \geq 2$ un entero. Encuentre la cardinalidad máxima de un conjunto $M$ de pares $(j, k)$ de enteros, $1 \leq j < k \leq n$, con la siguiente propiedad: Si $(j, k) \in M$, entonces $(k, m) \not \in M$ para cualquier $m$. Amir

41 Demuestre la siguiente afirmación: No existe una pirámide con base cuadrada y caras laterales congruentes para la cual las medidas de todas las aristas, el área total y el volumen sean enteros.

64 Desde un punto $P$ en el arco $BC$ del circuncírculo del triángulo $ABC$, se construye $PX$ perpendicular a $BC$, $PY$ perpendicular a $AC$ y $PZ$ perpendicular a $AB$ (prolongando los lados si fuera necesario). Demuestre que $\frac{BC}{PX}=\frac{AC}{PY}+\frac{AB}{PZ}$.