53 Una sucesión infinita creciente de enteros positivos $n_j (j = 1, 2, \ldots )$ tiene la propiedad de que para cierto $c$, \[\frac{1}{N}\sum_{n_j\le N} n_j \le c,\] para todo $N >0$. Demuestre que existen un número finito de sucesiones $m^{(i)}_j (i = 1, 2,\ldots, k)$ tales que \[\{n_1, n_2, \ldots \} =\bigcup_{i=1}^k\{m^{(i)}_1 ,m^{(i)}_2 ,\ldots\}\] y \[m^{(i)}_{j+1} > 2m^{(i)}_j (1 \le i \le k, j = 1, 2,\ldots).\]

49 Sean dadas dos sucesiones de enteros $f_i(1), f_i(2), \cdots (i = 1, 2)$ que satisfacen: $(i) f_i(nm) = f_i(n)f_i(m)$ si $\gcd(n,m) = 1$ ; $(ii)$ para todo primo $P$ y todo $k = 2, 3, 4, \cdots$ , $f_i(P^k) = f_i(P)f_i(P^{k-1}) - P^2f(P^{k-2}).$ Además, para todo primo $P$ : $(iii) f_1(P) = 2P,$ $(iv) f_2(P) < 2P.$ Demuestre que $|f_2(n)| < f_1(n)$ para todo $n$ .

50 Sean $m$ enteros positivos $a_1, \dots , a_m$ dados. Demuestre que existen menos de $2^m$ enteros positivos $b_1, \dots , b_n$ tales que todas las sumas de $b_k$ distintos son distintas y todos los $a_i \ (i \leq m)$ aparecen entre ellos. Amir

51 Sea $ABC$ un triángulo arbitrario y sean $S_1, S_2, \cdots, S_7$ círculos que satisfacen las siguientes condiciones: $S_1$ es tangente a $CA$ y $AB$, $S_2$ es tangente a $S_1, AB$ y $BC$, $S_3$ es tangente a $S_2, BC$ y $CA$, .............................. $S_7$ es tangente a $S_6, CA$ y $AB$. Demuestre que los círculos $S_1$ y $S_7$ coinciden.

12 Consideramos un prisma que tiene como bases superior e inferior los pentágonos: $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ y $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$. Cada uno de los lados de los dos pentágonos y los segmentos $A_{i}B_{j}$ con $i,j=1,\ldots,5$ están coloreados de rojo o azul. En todo triángulo que tiene todos sus lados coloreados, existe un lado rojo y un lado azul. Demuestre que los 10 lados de las dos bases están coloreados del mismo color. Amir

47 Dentro de un triángulo equilátero $ABC$ se construyen los puntos $P, Q$ y $R$ tales que \[\angle QAB = \angle PBA = 15^\circ,\\ \angle RBC = \angle QCB = 20^\circ,\\ \angle PCA = \angle RAC = 25^\circ.\] Determine los ángulos del triángulo $PQR.$ Amir

46 Sea $K$ el conjunto $\{a, b, c, d, e\}$. $F$ es una colección de $16$ subconjuntos diferentes de $K$, y se sabe que cualesquiera tres miembros de $F$ tienen al menos un elemento en común. Demuestre que los $16$ miembros de $F$ tienen exactamente un elemento en común. Amir

45 Para cualquier entero positivo $n$, denotamos por $F(n)$ el número de formas en las que $n$ puede expresarse como la suma de tres enteros positivos distintos, sin importar el orden. Así, dado que $10 = 7+2+1 = 6+3+1 = 5+4+1 = 5+3+2$, tenemos $F(10) = 4$. Demuestre que $F(n)$ es par si $n \equiv 2$ o $4 \pmod 6$, pero impar si $n$ es divisible por $6$.

44 Determine todos los números reales a para los cuales existen números reales positivos $x_{1}, \ldots, x_{5}$ que satisfacen las relaciones $ \sum_{k=1}^{5} kx_{k}=a,$ $ \sum_{k=1}^{5} k^{3}x_{k}=a^{2},$ $ \sum_{k=1}^{5} k^{5}x_{k}=a^{3}.$

43 Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados $BC, CA, AB$, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Si $P$ es cualquier punto en la circunferencia del círculo inscrito en el triángulo, demuestre que $aPA^2+bPB^2+cPC^2$ es constante.