2 Algunos estudiantes de matemáticas de la India e Irán se encuentran en las casillas de una cuadrícula de $n \times n$ (cada casilla puede contener varios estudiantes o ninguno). Cada estudiante calcula la fracción de estudiantes en su fila cuya nacionalidad coincide con la suya, así como la fracción de estudiantes en su columna cuya nacionalidad coincide con la suya. Cada estudiante anota la suma de los dos números que obtiene de esta manera. Demuestre que el producto de todos estos números es al menos $1$. Propuesto por Navid Safaei

4 Sea una cuadrícula infinita de cuadrados unitarios. Escribimos en cada cuadrado unitario un número real, tal que el valor absoluto de la suma de los números de cualquier cuadrado de $n \times n$ es menor o igual que $1$. Demuestre que el valor absoluto de la suma de los números de cualquier rectángulo de $m \times n$ es menor o igual que $4$.

1 Sea $ABC$ un triángulo y sean $D, E, F$ puntos que yacen sobre las rectas $BC, AC, AB$ respectivamente, tales que $DE \perp AC$, $DF \perp BC$ y $EF \perp AB$. Sea $\omega$ el circuncírculo del $\triangle DEF$. Demuestre que $\omega$ pasa por el circuncentro del $\triangle ABC$ si y solo si $\omega$ es tangente al circuncírculo del $\triangle ABC$. Propuesto por Rijul Saini y Shantanu Nene

3 Encuentre todos los números naturales $x,y>1$ y números primos $p$ que satisfacen $$\frac{x^2-1}{y^2-1}=(p+1)^2. $$

2 Sea n un entero positivo. Sean n números reales escritos en un papel. Llamamos "transformación" a: elegir 2 números $a,b$ y reemplazar ambos por $a*b$. Encuentre todos los n para los cuales, después de un número finito de transformaciones y para cualesquiera n números reales, podemos obtener el mismo número escrito n veces en el papel.

1 Encuentre todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que $a^2+b^2-c^2$ divide a $P(a)+P(b)-P(c)$, para todos los enteros $a,b,c$.

1 En el triángulo $ABC$, demuestre que \[ a = b\cos C + c\cos B. \]

1 Sea $P$ un punto en el interior del $\triangle ABC$. Las longitudes de los lados del $\triangle ABC$ son $a,b,c$, y las distancias desde $P$ a los lados del $\triangle ABC$ son $p,q,r$. Demuestre que el circunradio $R$ del $\triangle ABC$ satisface \[\displaystyle R\le \frac{a^2+b^2+c^2}{18\sqrt[3]{pqr}}.\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Los enteros positivos $1,2,...,n$ están escritos en una pizarra ( $n >2$ ). Cada minuto se borran dos números y se escribe el menor divisor primo de su suma. Al final, solo queda el número 97. Encuentre el menor $n$ para el cual esto es posible. Ovchinnikov

2 Sahand y Gholam juegan en una tabla de $1403\times 1403$. Inicialmente, todas las celdas unitarias son blancas. Para cada fila y columna hay una tecla asociada (en total 2806 teclas). Comenzando con Sahand, los jugadores se turnan para presionar una tecla que no haya sido presionada aún, hasta que todas las teclas hayan sido presionadas. Cuando Sahand presiona una tecla, todas las celdas de esa fila o columna se vuelven negras, independientemente de sus colores previos. Cuando Gholam presiona una tecla, todas las celdas de esa fila o columna se vuelven rojas, independientemente de sus colores previos. Finalmente, la puntuación de Gholam es igual al número de cuadrados rojos menos el número de cuadrados negros, y la puntuación de Sahand es igual al número de cuadrados negros menos el número de cuadrados rojos. Determine la puntuación mínima que Gholam puede garantizar si ambos jugadores juegan de manera óptima.