2 Sea $\Gamma$ un círculo y sea $d$ una recta tal que $\Gamma$ y $d$ no tienen puntos en común. Además, sea $AB$ un diámetro del círculo $\Gamma$; suponga que este diámetro $AB$ es perpendicular a la recta $d$, y que el punto $B$ está más cerca de la recta $d$ que el punto $A$. Sea $C$ un punto arbitrario en el círculo $\Gamma$, distinto de los puntos $A$ y $B$. Sea $D$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $d$. Una de las dos tangentes desde el punto $D$ al círculo $\Gamma$ toca a este círculo $\Gamma$ en un punto $E$; por lo tanto, asumimos que los puntos $B$ y $E$ yacen en el mismo semiplano con respecto a la recta $AC$. Denotamos por $F$ al punto de intersección de las rectas $BE$ y $d$. Sea la recta $AF$ que interseca al círculo $\Gamma$ en un punto $G$, distinto de $A$. Demuestre que la reflexión del punto $G$ respecto a la recta $AB$ yace sobre la recta $CF$.

5 Sea un polígono simple de $n$ lados en el plano, con $n>3$ e impar. El interior ha sido perfectamente recubierto con triángulos de tal manera que cada lado de cualquier triángulo coincide exactamente con otro lado de otro triángulo o del polígono. Alice y Bob juegan el siguiente juego sobre esto: Alice comienza primero y se turnan. En su turno, Alice puede colorear cualquier triángulo no coloreado de rojo, mientras que Bob puede colorear cualquier triángulo no coloreado de azul. Por cada lado que se encuentra entre dos triángulos, este es ganado por Alice si ambos triángulos son rojos, y por Bob si ambos son azules. El ganador es aquel que haya ganado estrictamente más lados que el otro. Demuestre que Alice tiene una estrategia ganadora. Propuesto por Pulkit Sinha

4 Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a diferentes clubes). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a diferentes sociedades). Hay un total de $k$ sociedades. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes está en exactamente un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está en exactamente un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con ${2m+1}$ estudiantes ($m$ es un entero positivo) está en exactamente $m$ sociedades. Encuentre todos los valores posibles de $k$. Propuesto por Guihua Gong, Puerto Rico

1 Considere la sucesión finita $\left\lfloor \frac{k^2}{1998} \right\rfloor$, para $k=1,2,\ldots, 1997$. ¿Cuántos términos distintos hay en esta sucesión? Grecia Valentin

2 Sea $F_{n}$ el $n$-ésimo número de Fibonacci (donde $F_{1}= F_{2}= 1$). Considere las funciones $f_{n}(x)=| . . . ||x|-F_{n}|-F_{n-1}|-...-F_{2}|-F_{1}|$, $g_{n}(x)=| . . . ||x-1|-1|-...-1|$ ($F_{1}+...+F_{n}$ unos). Demuestre que $f_{n}(x) = g_{n}(x)$ para todo número real $x.$ N.T.TUAN

1 Las longitudes de los lados de un triángulo son las raíces de un polinomio cúbico con coeficientes racionales. Demuestre que las alturas de este triángulo son raíces de un polinomio de sexto grado con coeficientes racionales.

3 Hay siete varillas erigidas en los vértices de un área heptagonal regular. La parte superior de cada varilla está conectada a la parte superior de su segundo vecino mediante un trozo de alambre recto de tal manera que, visto desde arriba, se observa que cada alambre cruza exactamente a otros dos. ¿Es posible establecer las alturas respectivas de las varillas de tal manera que no haya cuatro partes superiores de las varillas que sean coplanares y que cada alambre pase por uno de los cruces por encima y por el otro por debajo? N.T.TUAN

2 Para todos los números reales positivos $ a,b,c$ , demuestre que \[ \frac {a}{b + c} + \frac {b}{c + a} + \frac {c}{a + b} \geq \frac {3}{2}.\]

1 ¿Existe una sucesión de $2005$ enteros positivos consecutivos que contenga exactamente $25$ números primos? N.T.TUAN

2 Encuentre todos los polinomios de dos variables $P(x,y)$ que satisfacen \[P(a,b) P(c,d) = P (ac+bd, ad+bc), \forall a,b,c,d \in \mathbb{R}.\]