4 Un cubo de longitud de lado $n$ está dividido por paredes internas en cubos unitarios. ¿Cuál es el número mínimo de paredes entre cubos unitarios que deben eliminarse para que desde cada cubo unitario sea posible llegar al menos a una cara del cubo grande (las caras exteriores del cubo permanecen intactas)?

3 Demuestre que el sistema de ecuaciones $x^{2}+y=y^{2}+z=z^{2}+x$ tiene infinitas soluciones en números reales para las cuales los números $x, y, z$ son distintos entre sí.

1 Considere la sucesión finita $\left\lfloor \frac{k^2}{1998} \right\rfloor$, para $k=1,2,\ldots, 1997$. ¿Cuántos términos distintos hay en esta sucesión? Grecia Valentin

2 Encuentre todos los polinomios de dos variables $P(x,y)$ que satisfacen \[P(a,b) P(c,d) = P (ac+bd, ad+bc), \forall a,b,c,d \in \mathbb{R}.\]

2 Elisa suma los dígitos de su año de nacimiento y observa que el resultado coincide con los dos últimos dígitos del año en que nació su abuelo. Además, los dos últimos dígitos del año en que ella nació son precisamente la edad actual de su abuelo. Encuentre el año en que nació Elisa y el año en que nació su abuelo.

1. Encuentre $N$, el múltiplo positivo más pequeño de $45$ tal que todos sus dígitos sean $7$ o $0$. 2. Encuentre $M$, el múltiplo positivo más pequeño de $32$ tal que todos sus dígitos sean $6$ o $1$. 3. ¿Cuántos elementos del conjunto $\{1,2,3,...,1441\}$ tienen un múltiplo positivo tal que todos sus dígitos sean $5$ o $2$?

3 Sea $ABCD$ un cuadrado de lado $10$ y $P$ un punto en el lado $BC$. Al doblar el papel a lo largo de la línea $AP$, el punto $B$ determina el punto $Q$, como se ve en la figura. La línea $PQ$ corta al lado $CD$ en $R$. Calcule el perímetro del triángulo $PCR$ https://3.bp.blogspot.com/-ZSyCUznwutE/XNY7cz7reQI/AAAAAAAAKLc/XqgQnjm8DQYq6Q7fmCAKJwKt3ihoL8AuQCK4BGAYYCw/s400/may%2B2013%2Bl1.png

4 Pablo escribió $5$ números en una hoja y luego escribió los números $6,7,8,8,9,9,10,10,11$ y $12$ en otra hoja que le dio a Sofía, indicando que esos números son las posibles sumas de dos de los números que él había ocultado. Decida si con esta información Sofía puede determinar los cinco números que Pablo escribió.

5 Un cuadrado de $8\times 8$ está dibujado en la pizarra, dividido en $64$ cuadrados de $1\times 1$ mediante líneas paralelas a los lados. Gustavo borra algunos segmentos de longitud $1$ de tal manera que en cada cuadrado de $1\times 1$ borra $0, 1$ o $2$ lados. Gustavo afirma que borró $6$ segmentos de longitud $1$ del borde del cuadrado de $8\times 8$ y que la cantidad de cuadrados de $1\times 1$ que tienen exactamente $1$ lado borrado es igual a $5$. Decida si lo que dijo Gustavo puede ser cierto.

1 Sea $ABCD$ un trapecio con $AD$ paralelo a $BC$ y sea $J$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Se elige un punto $P$ en el lado $BC$ tal que la distancia de $C$ a la recta $AP$ es igual a la distancia de $B$ a la recta $DP$. Las siguientes tres preguntas 1, 2 y 3 son independientes, por lo que una condición en una pregunta no se aplica en otra. 1. Suponga que $Area( \vartriangle AJB) =6$ y que $Area(\vartriangle BJC) = 9$. Determine $Area(\vartriangle APD)$. 2. Encuentre todos los puntos $Q$ en el plano del trapecio tales que $Area(\vartriangle AQB) = Area(\vartriangle DQC)$. 3. Demuestre que $PJ$ es la bisectriz del ángulo $\angle APD$.