Sea $w_{0}$ un círculo que existe en el interior del círculo $w$ ( $w$ y $w_{0}$ no tienen el mismo centro). Cada círculo $w_{j}$ ( $j=\overline{1,4}$ ) es tangente a $w_{0}$ y a $w$. Demuestre que los puntos de intersección de las tangentes comunes exteriores de $w_{i}$ y $w_{j}$ ( $1\le i,j\le 4$ ) son concurrentes.

1 Para un entero positivo $n$, sea $S_n=1^{2024}+2^{2024}+ \cdots +n^{2024}$. Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$, tales que $S_n$ no es divisible por $1865$ pero $S_{n+1}$ es divisible por $1865$.

3 $AB,AC$ son tangentes a $\Omega$ en $B$ y $C$, respectivamente. $D,E,F$ yacen sobre los segmentos $BC,CA,AB$ tales que $AF<AE$ y $\angle FDB= \angle EDC$. El circuncírculo del $\triangle FEC$ interseca a $\Omega$ en $G$ y $C$. Demuestre que $\angle AEF= \angle BGD$.

3 Sea $ABC$ un triángulo y sobre sus lados dibujamos, externamente, los cuadrados $BADE$, $CBFG$ y $ACHI$. Determine la mayor constante real positiva $k$ tal que, para cualquier triángulo $\triangle ABC$, la siguiente desigualdad sea verdadera: $[DEFGHI]\geq k\cdot [ABC]$. Nota: $[X]$ denota el área del polígono $X$.

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Su incírculo es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sean $P$, $Q$ y $R$ los circuncentros de los triángulos $AEF$, $BDF$ y $CDE$, respectivamente. Demuestre que los triángulos $ABC$ y $PQR$ son semejantes.

5 ¿De cuántas maneras podemos llenar las celdas de una cuadrícula de $4\times4$ de tal manera que cada celda contenga exactamente un entero positivo y el producto de los números en cada fila y en cada columna sea $2020$?

6 Demuestre que $\lfloor{\sqrt{9n+7}}\rfloor=\lfloor{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}\rfloor$ para todo entero positivo $n$.

1 Encuentre todos los pares de números naturales $ (a, b)$ tales que $ 7^a - 3^b$ divide a $ a^4 + b^2$ . Autor: Stephan Wagner, Austria Dida

2 Sean $b,n > 1$ enteros. Suponga que para cada $k > 1$ existe un entero $a_k$ tal que $b - a^n_k$ es divisible por $k$. Demuestre que $b = A^n$ para algún entero $A$. Autor: Dan Brown, Canadá

3 Sea $ X$ un conjunto de 10,000 enteros, ninguno de los cuales es divisible por 47. Demuestre que existe un subconjunto $ Y$ de $ X$ de 2007 elementos tal que $ a - b + c - d + e$ no es divisible por 47 para cualesquiera $ a,b,c,d,e \in Y.$ Autor: Gerhard Wöginger, Países Bajos