4 Los círculos $\omega$ y $\omega_1$ son tangentes en el punto $D$. Los lados $AC$ y $AB$ son tangentes al círculo $\omega_1$. Demuestre que la recta que contiene la bisectriz del ángulo $\measuredangle CDB$ pasa por el centro del $A$-excirculo del triángulo $ABC$ (que es tangente al lado $CB$). https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/5/3/387a0358fd3d3fa30aaf5386d1dab62f7a0c90.png

7 Sean $a,b,c,d$ cuatro enteros positivos tales que $a>b>c>d$. Dado que $ab+bc+ca+d^2|(a+b)(b+c)(c+a)$, encuentre el valor mínimo de $\Omega(ab+bc+ca+d^2)$. Aquí $\Omega(n)$ denota el número de factores primos que tiene $n$. Por ejemplo, $\Omega(12)=3$.

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$. Sean $D, E$ y $F$ los pies de las perpendiculares desde $A, B$ y $C$ a los lados opuestos, respectivamente. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $F$ a la recta $DE$. La recta $FP$ y el circuncírculo del triángulo $BDF$ se cortan de nuevo en $Q$. Demuestre que $\angle PBQ = \angle PAD$.

Cuatro puntos $A, B, C$ y $D$ yacen sobre un círculo, en ese orden en sentido horario, tales que existe un punto $E$ en el segmento $CD$ con la propiedad de que $AD = DE$ y $BC = EC$. Demuestre que el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle ABC$ se encuentra sobre la recta $CD$.

5 Demuestre que existen infinitos enteros $a$ tales que $(a,b)=1$, siendo $n$ y $b$ números naturales dados, y $\dfrac{a^n-b^n}{a-b}$ no es múltiplo de ningún entero mayor que 1.

11.4 Un tablero de $2025 \times 2025$ está lleno con los números $1, 2, \ldots, 2025$, cada uno apareciendo exactamente $2025$ veces. Demuestre que existe una fila o columna con al menos $45$ números distintos.

9.4 Se da un $K_{2024}$ en el cual cada arista tiene peso $1$ o $2$. Si todo ciclo tiene un peso total par, encuentre el valor mínimo de la suma de todos los pesos en el grafo.

10.3 Encuentre todos los enteros positivos $1 \leq k \leq 6$ tales que para cualquier primo $p$, que satisfaga $p^2=a^2+kb^2$ para algunos enteros positivos $a, b$, existan enteros positivos $x, y$, que satisfagan $p=x^2+ky^2$. Observación sobre 10.4 También aparece como ARO 2010 10.4 con la cuadrícula cambiada a $10 \times 10$ y $17$ cambiado a $5$, por lo que no será publicado.

1 Se nos da un entero positivo $ r$ y un tablero rectangular $ ABCD$ con dimensiones $ AB = 20, BC = 12$. El rectángulo está dividido en una cuadrícula de $ 20 \times 12$ cuadrados unitarios. Se permiten los siguientes movimientos en el tablero: uno puede moverse de un cuadrado a otro solo si la distancia entre los centros de los dos cuadrados es $ \sqrt {r}$. La tarea consiste en encontrar una sucesión de movimientos que lleve desde el cuadrado que tiene a $ A$ como vértice hasta el cuadrado que tiene a $ B$ como vértice. (a) Demuestre que la tarea no puede realizarse si $ r$ es divisible por 2 o 3. (b) Demuestre que la tarea es posible cuando $ r = 73$. (c) ¿Puede realizarse la tarea cuando $ r = 97$?

3 Sean $ k,m,n$ enteros tales que $ 1 < n \leq m - 1 \leq k.$ Determine el tamaño máximo de un subconjunto $ S$ del conjunto $ \{1,2,3, \ldots, k-1,k\}$ tal que no existan $ n$ elementos distintos de $ S$ que sumen $ m.$