Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean $R_A, R_B, R_C, R_D$ los circunradios de los triángulos $DAB, ABC, BCD, CDA,$ respectivamente. Demuestre que $R_A + R_C > R_B + R_D$ si y solo si $\angle A + \angle C > \angle B + \angle D.$

7 Sea $V$ un conjunto finito y sean $g$ y $f$ dos funciones inyectivas y sobreyectivas de $V$ en $V$. Sean $T$ y $S$ dos conjuntos definidos de la siguiente manera: $S = \{w \in V: f(f(w)) = g(g(w))\}$ y $T = \{w \in V: f(g(w)) = g(f(w))\}$. Sabemos que $S \cup T = V$. Demuestre que para todo $w \in V$: $f(w) \in S$ si y solo si $g(w) \in S$.

Manzi tiene $n$ sellos y un álbum con $10$ páginas. Él distribuye los $n$ sellos en el álbum de tal manera que cada página tiene un número distinto de sellos. Él descubre que, sin importar cómo lo haga, siempre existe un conjunto de $4$ páginas tal que el número total de sellos en estas $4$ páginas es al menos $\frac{n}{2}$. Determine el valor máximo posible de $n$.

6 Un número finito de monedas se colocan en una fila infinita de casillas. Se realiza una sucesión de movimientos de la siguiente manera: en cada etapa se elige una casilla que contiene más de una moneda. Se toman dos monedas de esta casilla; una de ellas se coloca en la casilla inmediatamente a la izquierda, mientras que la otra se coloca en la casilla inmediatamente a la derecha de la casilla elegida. La sucesión termina si en algún momento hay como máximo una moneda en cada casilla. Dada una configuración inicial, demuestre que cualquier sucesión legal de movimientos terminará después del mismo número de pasos y con la misma configuración final.

3 Considere una sucesión de números reales definida por: \begin{align*} x_{1} & = c \\ x_{n+1} & = cx_{n} + \sqrt{c^{2} - 1}\sqrt{x_{n}^{2} - 1} \quad \text{para todo } n \geq 1. \end{align*} Demuestre que si $c$ es un entero positivo, entonces $x_{n}$ es un entero para todo $n \geq 1$. (Sudáfrica)

5 Sean $ p,q,n$ tres enteros positivos tales que $ p + q < n$ . Sea $ (x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n})$ una $(n + 1)$-tupla de enteros que satisface las siguientes condiciones: (a) $ x_{0} = x_{n} = 0$ , y (b) Para cada $ i$ tal que $ 1\leq i\leq n$ , se cumple que $ x_{i} - x_{i - 1} = p$ o $ x_{i} - x_{i - 1} = - q$ . Demuestre que existen índices $ i < j$ con $ (i,j)\neq (0,n)$ , tales que $ x_{i} = x_{j}$ .

3 Sean $ k,m,n$ enteros tales que $ 1 < n \leq m - 1 \leq k.$ Determine el tamaño máximo de un subconjunto $ S$ del conjunto $ \{1,2,3, \ldots, k-1,k\}$ tal que no existan $ n$ elementos distintos de $ S$ que sumen $ m.$

Un cuadrado de $ (n - 1) \times (n - 1)$ se divide en $ (n - 1)^2$ cuadrados unitarios de la manera habitual. Cada uno de los $ n^2$ vértices de estos cuadrados debe ser coloreado de rojo o azul. Encuentre el número de coloraciones diferentes tales que cada cuadrado unitario tenga exactamente dos vértices rojos. (Dos esquemas de coloración se consideran diferentes si al menos un vértice está coloreado de manera distinta en los dos esquemas).

1 Se nos da un entero positivo $ r$ y un tablero rectangular $ ABCD$ con dimensiones $ AB = 20, BC = 12$. El rectángulo está dividido en una cuadrícula de $ 20 \times 12$ cuadrados unitarios. Se permiten los siguientes movimientos en el tablero: uno puede moverse de un cuadrado a otro solo si la distancia entre los centros de los dos cuadrados es $ \sqrt {r}$. La tarea consiste en encontrar una sucesión de movimientos que lleve desde el cuadrado que tiene a $ A$ como vértice hasta el cuadrado que tiene a $ B$ como vértice. (a) Demuestre que la tarea no puede realizarse si $ r$ es divisible por 2 o 3. (b) Demuestre que la tarea es posible cuando $ r = 73$. (c) ¿Puede realizarse la tarea cuando $ r = 97$?

8 Dado un entero positivo $n \geq 2$. Sean $a_{ij}$ $(1 \leq i,j \leq n)$ $n^2$ números reales no negativos cuya suma es $1$. Para $1\leq i \leq n$, defina $R_i=max_{1\leq k \leq n}(a_{ik})$. Para $1\leq j \leq n$, defina $C_j=min_{1\leq k \leq n}(a_{kj})$. Encuentre el valor máximo de $C_1C_2 \cdots C_n(R_1+R_2+ \cdots +R_n)$.