12 Dado un triángulo no equilátero $ABC$, con los vértices listados en sentido antihorario, encuentre el lugar geométrico de los baricentros de los triángulos equiláteros $A'B'C'$ (con los vértices listados en sentido antihorario) para los cuales las ternas de puntos $A,B', C'; A',B, C';$ y $A',B', C$ son colineales. Propuesto por Polonia. Amir

13 ¿Es posible colocar $1987$ puntos en el plano euclidiano de tal manera que la distancia entre cada par de puntos sea irracional y cada tres puntos determinen un triángulo no degenerado con área racional? (Problema 5 de la IMO) Propuesto por Alemania, DR Amir

4 Encuentre todos los pares de enteros positivos \( n \) y \( x \) tales que \[ 1^n + 2^n + 3^n + \cdots + n^n = x! \] (Petko Lazarov, Bulgaria)

1c Sección de problemas #1 c) Encuentre todos los pares $(m, n)$ de enteros no negativos para los cuales $m^2+2.3^n=m(2^{n+1}-1).$ khan.academy

11 Encuentre el número de particiones del conjunto $\{1, 2, \cdots, n\}$ en tres subconjuntos $A_1,A_2,A_3$, algunos de los cuales pueden ser vacíos, tales que se satisfagan las siguientes condiciones: $(i)$ Después de que los elementos de cada subconjunto hayan sido ordenados de forma ascendente, cada dos elementos consecutivos de cualquier subconjunto tienen paridad diferente. $(ii)$ Si $A_1,A_2,A_3$ son todos no vacíos, entonces en exactamente uno de ellos el número mínimo es par. Propuesto por Polonia. Amir

3 Alice y Bob juegan al siguiente juego. Para comenzar, Alice organiza los números $1,2,\ldots,n$ en algún orden en una fila y luego Bob elige uno de los números y coloca una piedra sobre él. El turno de un jugador consiste en recoger y colocar la piedra en un número adyacente bajo la restricción de que la piedra puede colocarse sobre el número $k$ como máximo $k$ veces. Los dos jugadores alternan turnos comenzando con Alice. El primer jugador que no pueda realizar un movimiento pierde. Para cada entero positivo $n$, determine quién tiene una estrategia ganadora.

2 Cada punto blanco en la figura de abajo debe completarse con uno de los enteros $1, 2, ..., 9$, sin repeticiones, de tal manera que la suma de los tres números en el círculo externo sea igual a la suma de los cuatro números en cada círculo interno que no pertenecen al círculo externo. $(a)$ Demuestre una solución. $(b)$ Demuestre que, en cualquier solución, el número $9$ debe pertenecer al círculo externo.

3 Sea $ABC$ un triángulo con $AC \ne BC$. En el triángulo $ABC$, sea $G$ el baricentro, $I$ el incentro y $O$ su circuncentro. Demuestre que $IG$ es paralelo a $AB$ si y solo si $CI$ es perpendicular a $IO$.

6 Un conjunto de $n$ puntos en el espacio euclidiano tridimensional, de los cuales no hay cuatro que sean coplanares, se divide en dos subconjuntos $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$. Un árbol $\mathcal{AB}$ es una configuración de $n-1$ segmentos, cada uno de los cuales tiene un extremo en $\mathcal{A}$ y un extremo en $\mathcal{B}$, y tal que ningún segmento forma una poligonal cerrada. Un árbol $\mathcal{AB}$ se transforma en otro de la siguiente manera: elija tres segmentos distintos $A_1B_1$, $B_1A_2$ y $A_2B_2$ en el árbol $\mathcal{AB}$ tales que $A_1$ esté en $\mathcal{A}$ y $|A_1B_1|+|A_2B_2|>|A_1B_2|+|A_2B_1|$, y elimine el segmento $A_1B_1$ para reemplazarlo por el segmento $A_1B_2$. Dado cualquier árbol $\mathcal{AB}$, demuestre que toda sucesión de transformaciones sucesivas llega a su fin (no es posible realizar más transformaciones) después de un número finito de pasos.

5 Un hexágono convexo $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$ está inscrito en una circunferencia $\Omega$ de radio $R$. Las diagonales $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$ son concurrentes en $X$. Para cada $i=1,2,3$ sea $\omega_i$ tangente a los segmentos $XA_i$ y $XB_i$ y tangente al arco $A_iB_i$ de $\Omega$ que no contiene a los otros vértices del hexágono; sea $r_i$ el radio de $\omega_i$. (a) Demuestre que $R\geq r_1+r_2+r_3$. (b) Si $R= r_1+r_2+r_3$, demuestre que los seis puntos de tangencia de las circunferencias $\omega_i$ con las diagonales $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$ son concíclicos.