12 Dado un triángulo no equilátero $ABC$, con los vértices listados en sentido antihorario, encuentre el lugar geométrico de los baricentros de los triángulos equiláteros $A'B'C'$ (con los vértices listados en sentido antihorario) para los cuales las ternas de puntos $A,B', C'; A',B, C';$ y $A',B', C$ son colineales. Propuesto por Polonia. Amir

69 Sea $A$ uno de los dos puntos distintos de intersección de dos círculos coplanares desiguales $C_1$ y $C_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$, mientras que la otra toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$. Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$. Demuestre que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$.

35 Sean $P_1, P_2, \dots , P_n$ puntos distintos del plano, $n \geq 2$. Demuestre que \[ \max_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j > \frac{\sqrt 3}{2}(\sqrt n -1) \min_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j \] Amir

18 Sea $b \geq 2$ un entero positivo. (a) Demuestre que para que un entero $N$, escrito en base $b$, sea igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos, es necesario que $N = 1$ o que $N$ tenga solo dos dígitos. (b) Dé una lista completa de todos los enteros que no exceden $50$ que, con respecto a alguna base $b$, son iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos. (c) Demuestre que para cualquier base $b$, el número de enteros de dos dígitos que son iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos es par. (d) Demuestre que para cualquier base impar $b$ existe un entero distinto de $1$ que es igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos. Amir

28 Demuestre que si los lados $a, b, c$ de un triángulo satisfacen la ecuación \[2(ab^2 + bc^2 + ca^2) = a^2b + b^2c + c^2a + 3abc,\] entonces el triángulo es equilátero. Demuestre también que la ecuación puede ser satisfecha por números reales positivos que no son los lados de un triángulo. Amir

56 Considere el desarrollo \[(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^{496} = a_0 + a_1x + \cdots + a_{1984}x^{1984}.\] (a) Determine el máximo común divisor de los coeficientes $a_3, a_8, a_{13}, \ldots , a_{1983}.$ (b) Demuestre que $10^{340 }< a_{992} < 10^{347}.$ Amir

41 Sea $E$ el conjunto de $1983^3$ puntos del espacio $\mathbb R^3$ cuyas tres coordenadas son enteros entre $0$ y $1982$ (incluyendo $0$ y $1982$). Una coloración de $E$ es una aplicación de $E$ al conjunto {rojo, azul}. ¿Cuántas coloraciones de $E$ existen que satisfagan la siguiente propiedad: el número de vértices rojos entre los $8$ vértices de cualquier paralelepípedo rectángulo es un múltiplo de $4$? Amir

70 Sea $d_n$ el último dígito distinto de cero de la representación decimal de $n!$. Demuestre que $d_n$ es aperiódico; es decir, no existen $T$ y $n_0$ tales que para todo $n \geq n_0, d_{n+T} = d_n$. Amir

27 Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos, tales que no hay dos de ellos que tengan un divisor común mayor que $1$. Demuestre que $2abc-ab-bc-ca$ es el mayor entero que no puede expresarse de la forma $xbc+yca+zab$, donde $x,y,z$ son enteros no negativos.

40 Las cuatro caras del tetraedro $ABCD$ son triángulos congruentes cuyos ángulos forman una progresión aritmética. Si las longitudes de los lados de los triángulos son $a < b < c$, determine el radio de la esfera circunscrita al tetraedro como una función de $a, b$ y $c$. ¿Cuál es la razón $c/a$ si $R = a$? Amir