2 Dados enteros positivos $m$ y $n \ge m$, determine el mayor número de dominós (rectángulos de $1 \times 2$ o $2 \times 1$) que pueden colocarse en un tablero rectangular con $m$ filas y $2n$ columnas compuesto por celdas (cuadrados de $1 \times 1$) de modo que: (i) cada dominó cubra exactamente dos celdas adyacentes del tablero; (ii) no haya dos dominós que se superpongan; (iii) no haya dos que formen un cuadrado de $2 \times 2$; y (iv) la fila inferior del tablero esté completamente cubierta por $n$ dominós.

5 Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que las siguientes condiciones se cumplen para todo par de enteros positivos $(x, y)$: $(i)$: $x$ y $f(x)$ tienen el mismo número de divisores positivos. $(ii)$: Si $x \nmid y$ y $y \nmid x$, entonces: $$\gcd(f(x), f(y)) > f(\gcd(x, y))$$

6 Encuentre todos los enteros positivos $d$ para los cuales existe un polinomio $P$ de grado $d$ con coeficientes reales tal que hay a lo sumo $d$ valores distintos entre $P(0),P(1),P(2),\cdots,P(d^2-d)$.

1 Cuatro hermanos tienen juntos cuarenta y ocho Kwanzas. Si el dinero del primer hermano aumentara en tres Kwanzas, si el dinero del segundo hermano disminuyera en tres Kwanzas, si el dinero del tercer hermano se triplicara y si el dinero del último hermano se redujera a un tercio, entonces todos los hermanos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada hermano?

4 Sea $P(n)$ un trinomio cuadrático con coeficientes enteros. Para cada entero positivo $n$, el número $P(n)$ tiene un divisor propio $d_n$, es decir, $1<d_n<P(n)$, tal que la sucesión $d_1,d_2,d_3,\ldots$ es creciente. Demuestre que $P(n)$ es el producto de dos polinomios lineales con coeficientes enteros o todos los valores de $P(n)$, para enteros positivos $n$, son divisibles por el mismo entero $m>1$.

1 Cada número real mayor que 1 se colorea de rojo o azul, utilizándose ambos colores. Demuestre que existen números reales $a$ y $b$ tales que los números $a+\frac1b$ y $b+\frac1a$ son de colores diferentes.

3 ¿Existe un polinomio de segundo grado $p(x, y)$ en dos variables tal que todo entero no negativo $n$ sea igual a $p(k,m)$ para uno y solo un par ordenado $(k,m)$ de enteros no negativos? Propuesto por Finlandia. Amir

1 Sea $ABC$ un triángulo y sea $D$ un punto en el segmento $BC$, $D\neq B$ y $D\neq C$. El círculo $ABD$ corta al segmento $AC$ nuevamente en un punto interior $E$. El círculo $ACD$ corta al segmento $AB$ nuevamente en un punto interior $F$. Sea $A'$ la reflexión de $A$ en la recta $BC$. Las rectas $A'C$ y $DE$ se cortan en $P$, y las rectas $A'B$ y $DF$ se cortan en $Q$. Demuestre que las rectas $AD$, $BP$ y $CQ$ son concurrentes (o todas paralelas).

1 Un círculo tiene su centro en el lado $AB$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$. Los otros tres lados son tangentes al círculo. Demuestre que $AD+BC=AB$.

3 Sea el incírculo del $\triangle ABC$ tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sea $D'$ el punto diametralmente opuesto a $D$ con respecto al incírculo. Sean las rectas $AD'$ y $AD$ que intersecan al incírculo nuevamente en $X$ e $Y$, respectivamente. Demuestre que las rectas $DX$, $D'Y$ y $EF$ son concurrentes, es decir, que las rectas se intersecan en el mismo punto. (Kritesh Dhakal, Nepal)