1 Cuatro hermanos tienen juntos cuarenta y ocho Kwanzas. Si el dinero del primer hermano aumentara en tres Kwanzas, si el dinero del segundo hermano disminuyera en tres Kwanzas, si el dinero del tercer hermano se triplicara y si el dinero del último hermano se redujera a un tercio, entonces todos los hermanos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada hermano?

4 Sea $P(n)$ un trinomio cuadrático con coeficientes enteros. Para cada entero positivo $n$, el número $P(n)$ tiene un divisor propio $d_n$, es decir, $1<d_n<P(n)$, tal que la sucesión $d_1,d_2,d_3,\ldots$ es creciente. Demuestre que $P(n)$ es el producto de dos polinomios lineales con coeficientes enteros o todos los valores de $P(n)$, para enteros positivos $n$, son divisibles por el mismo entero $m>1$.

1c Sección de problemas #1 c) Encuentre todos los pares $(m, n)$ de enteros no negativos para los cuales $m^2+2.3^n=m(2^{n+1}-1).$ khan.academy

3 En un cuadrilátero convexo $ABCD$, $P$ y $Q$ son puntos en los lados $BC$ y $DC$ tales que $B\hat{A}P = D\hat{A}Q$. Si la recta que pasa por los ortocentros de $\triangle ABP$ y $\triangle ADQ$ es perpendicular a $AC$, demuestre que las áreas de estos triángulos son iguales.

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$. Sean $I, J, K$ los incentros de los triángulos $ABC$, $ABM$, $ACM$, respectivamente. Sean $P, Q$ puntos en las rectas $MK$, $MJ$, respectivamente, tales que $\angle AJP=\angle ABC$ y $\angle AKQ=\angle BCA$. Sea $R$ la intersección de las rectas $CP$ y $BQ$. Demuestre que las rectas $IR$ y $BC$ son perpendiculares.

3 En un hexágono convexo $AC'BA'CB'$, cada dos lados opuestos son iguales. Sea $A_1$ el punto de intersección de $BC$ con la mediatriz de $AA'$. Defina $B_1$ y $C_1$ de manera similar. Demuestre que $A_1$, $B_1$ y $C_1$ son colineales.

2 En una palabra de más de $10$ letras, cualesquiera dos letras consecutivas son diferentes. Demuestre que se pueden intercambiar dos letras consecutivas de modo que la palabra resultante no sea periódica, es decir, que no pueda dividirse en subpalabras iguales.

1 Dos enteros diferentes $u$ y $v$ están escritos en una pizarra. Realizamos una sucesión de pasos. En cada paso realizamos una de las siguientes dos operaciones: (i) Si $a$ y $b$ son enteros diferentes en la pizarra, entonces podemos escribir $a + b$ en la pizarra, si no está ya allí. (ii) Si $a$, $b$ y $c$ son tres enteros diferentes en la pizarra, y si un entero $x$ satisface $ax^2 +bx+c = 0$, entonces podemos escribir $x$ en la pizarra, si no está ya allí. Determine todos los pares de números iniciales $(u, v)$ a partir de los cuales cualquier entero puede eventualmente ser escrito en la pizarra después de una sucesión finita de pasos.

2 Dados enteros positivos $m$ y $n \ge m$, determine el mayor número de dominós (rectángulos de $1 \times 2$ o $2 \times 1$) que pueden colocarse en un tablero rectangular con $m$ filas y $2n$ columnas compuesto por celdas (cuadrados de $1 \times 1$) de modo que: (i) cada dominó cubra exactamente dos celdas adyacentes del tablero; (ii) no haya dos dominós que se superpongan; (iii) no haya dos que formen un cuadrado de $2 \times 2$; y (iv) la fila inferior del tablero esté completamente cubierta por $n$ dominós.

5 Un hexágono convexo $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$ está inscrito en una circunferencia $\Omega$ de radio $R$. Las diagonales $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$ son concurrentes en $X$. Para cada $i=1,2,3$ sea $\omega_i$ tangente a los segmentos $XA_i$ y $XB_i$ y tangente al arco $A_iB_i$ de $\Omega$ que no contiene a los otros vértices del hexágono; sea $r_i$ el radio de $\omega_i$. (a) Demuestre que $R\geq r_1+r_2+r_3$. (b) Si $R= r_1+r_2+r_3$, demuestre que los seis puntos de tangencia de las circunferencias $\omega_i$ con las diagonales $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$ son concíclicos.