5 Dados $2k+1$ puntos en una recta numérica coloreados con $k$ colores. Demuestre que para tres puntos adyacentes $A$, $B$ y $C$, si $A$ puede moverse a $C$ y $C$ a $A$, entonces existen dos puntos que pueden intercambiar sus lugares con el mismo color.

4 Sea $n \geq 3$ un entero. Sean $t_1$, $t_2$, ..., $t_n$ números reales positivos tales que \[n^2 + 1 > \left( t_1 + t_2 + \cdots + t_n \right) \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \cdots + \frac{1}{t_n} \right).\] Demuestre que $t_i$, $t_j$, $t_k$ son las longitudes de los lados de un triángulo para todo $i$, $j$, $k$ con $1 \leq i < j < k \leq n$.

4 Sea un círculo tangente a un círculo dado en el punto $A$ y tangente a su cuerda $BC$ en el punto $D$. Suponga que este círculo corta las extensiones de $AC$ y $AB$ en los puntos $C_1$ y $B_1$, respectivamente. Demuestre que $$BD \cdot CC_1 = CD \cdot BB_1.$$

7 En cada vértice de un $n$-gono regular hay una fortaleza. En el mismo instante, cada fortaleza dispara a una de las dos fortalezas más cercanas y la alcanza. El resultado del disparo es el conjunto de las fortalezas alcanzadas; no distinguimos si una fortaleza fue alcanzada una o dos veces. Sea $P(n)$ el número de resultados posibles del disparo. Demuestre que para todo entero positivo $k\geqslant 3$, $P(k)$ y $P(k+1)$ son primos entre sí. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 3) Martin N.

1 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que para todo $x, y\in\mathbb{R}$, se cumple \[f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y).\] Martin N.

5 Sean $m,n$ enteros positivos tales que $m\ge 2$ y $n< \frac{3}{2}(m-1)$. En un país hay $m$ ciudades y $n$ carreteras, cada carretera conecta dos ciudades diferentes, y puede haber múltiples carreteras entre dos ciudades. Demuestre que existe una forma de separar las ciudades en dos grupos $\alpha$ y $\beta$, donde todas las carreteras que conectan una ciudad en $\alpha$ con una ciudad en $\beta$ se convierten en autopistas, y se satisfacen las siguientes condiciones: ambos grupos tienen al menos una ciudad, y para cada ciudad, el número de autopistas que salen de dicha ciudad no excede $1$.

11 Para un entero no negativo $n$, defina $a_n$ como el entero positivo con representación decimal \[1\underbrace{0\ldots0}_{n}2\underbrace{0\ldots0}_{n}2\underbrace{0\ldots0}_{n}1\mbox{.}\] Demuestre que $\frac{a_n}{3}$ es siempre la suma de dos cubos perfectos positivos, pero nunca la suma de dos cuadrados perfectos. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 7) Martin N.

5 Se dan tres sucesiones estrictamente crecientes \[a_1, a_2, a_3, \ldots,\qquad b_1, b_2, b_3, \ldots,\qquad c_1, c_2, c_3, \ldots\] de enteros positivos. Cada entero positivo pertenece exactamente a una de las tres sucesiones. Para todo entero positivo $n$, se cumplen las siguientes condiciones: (a) $c_{a_n}=b_n+1$; (b) $a_{n+1}>b_n$; (c) el número $c_{n+1}c_{n}-(n+1)c_{n+1}-nc_n$ es par. Encuentre $a_{2010}$, $b_{2010}$ y $c_{2010}$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 1) Martin N.

8 Sea $n$ un entero positivo. Un cuadrado $ABCD$ está particionado en $n^2$ cuadrados unitarios. Cada uno de ellos está dividido en dos triángulos por la diagonal paralela a $BD$. Algunos de los vértices de los cuadrados unitarios están coloreados de rojo de tal manera que cada uno de estos $2n^2$ triángulos contiene al menos un vértice rojo. Encuentre el número mínimo de vértices rojos. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 4) Martin N.

6 Llamamos a un entero positivo alternante si cada dos dígitos consecutivos en su representación decimal son de distinta paridad. Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ tiene un múltiplo que es alternante.