7 En cada vértice de un $n$-gono regular hay una fortaleza. En el mismo instante, cada fortaleza dispara a una de las dos fortalezas más cercanas y la alcanza. El resultado del disparo es el conjunto de las fortalezas alcanzadas; no distinguimos si una fortaleza fue alcanzada una o dos veces. Sea $P(n)$ el número de resultados posibles del disparo. Demuestre que para todo entero positivo $k\geqslant 3$, $P(k)$ y $P(k+1)$ son primos entre sí. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 3) Martin N.