2 Se da un hexágono convexo $ABCDEF$ tal que $AB||DE$, $BC||EF$, $CD||FA$. Los puntos $M, N, K$ son los puntos comunes de las rectas $BD$ y $AE$, $AC$ y $DF$, $CE$ y $BF$ respectivamente. Demuestre que las perpendiculares trazadas desde $M, N, K$ a las rectas $AB, CD, EF$ respectivamente son concurrentes.

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ hacia $BC$ y sea $M$ el punto medio de $OD$. Los puntos $O_b$ y $O_c$ son los circuncentros de los triángulos $AOC$ y $AOB$, respectivamente. Si $AO=AD$, demuestre que los puntos $A$, $O_b$, $M$ y $O_c$ son concíclicos. Marin Hristov y Bozhidar Dimitrov, Bulgaria

2 Demuestre que para todos los números reales no negativos $x,y,z$, no todos iguales a $0$, se cumple la siguiente desigualdad: $$\dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geq 3.$$ Determine todas las ternas $(x,y,z)$ para las cuales se cumple la igualdad. Milan Mitreski, Serbia

3 Alice y Bob juegan el siguiente juego en una cuadrícula de $100\times 100$, turnándose, con Alice comenzando primero. Inicialmente, la cuadrícula está vacía. En su turno, eligen un entero del $1$ al $100^2$ que aún no se haya escrito en ninguna de las celdas y eligen una celda vacía, y lo colocan en la celda elegida. Cuando no queda ninguna celda vacía, Alice calcula la suma de los números en cada fila, y su puntuación es el máximo de estos $100$ números. Bob calcula la suma de los números en cada columna, y su puntuación es el máximo de estos $100$ números. Alice gana si su puntuación es mayor que la puntuación de Bob, Bob gana si su puntuación es mayor que la puntuación de Alice; de lo contrario, nadie gana. Determine si uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora y, de ser así, qué jugador tiene una estrategia ganadora. Théo Lenoir, Francia

1 Sea $\{x_n \}$ una sucesión de números reales tal que $x_1=1$ y para todo $n \ge 2$ tenemos que, entre todas las permutaciones $a_1, a_2, \cdots, a_n$ de $\{1, 2, \cdots, n \}$, la suma $a_1x_1+a_2x_2+ \cdots + a_nx_n$ tiene un mínimo en $0$. Encuentre todos los valores posibles de $x_{2025}$.

5 Encuentre todos los pares de primos $(p,q)$ tales que $6pq$ divide a $$p^3+q^2+38$$

4 Para cada entero $n$ ($n \ge 2$), sea $f(n)$ la suma de todos los enteros positivos que son a lo sumo $n$ y no son primos relativos con $n$. Demuestre que $f(n+p) \neq f(n)$ para cada $n$ de este tipo y cada primo $p$.

4 a) Tenemos una sucesión geométrica de $3$ términos. Si la suma de estos términos es $26$ y la suma de sus cuadrados es $364$, encuentre los términos de la sucesión. b) Suponga que $a,b,c,u,v,w$ son números reales positivos, y que tanto $a,b,c$ como $u,v,w$ son sucesiones geométricas. Suponga también que $a+u,b+v,c+w$ forman una sucesión aritmética. Demuestre que $a=b=c$ y $u=v=w$. c) Sean $a,b,c,d$ números reales (no todos cero), y sea $f(x,y,z)$ el polinomio en tres variables definido por $$f(x,y,z) = axyz + b(xy + yz + zx) + c(x+y+z) + d$$ . Demuestre que $f(x,y,z)$ es reducible si y solo si $a,b,c,d$ es una sucesión geométrica.

4 En un triángulo acutángulo $ABC$, sea $D$ un punto en el segmento $BC$. Sean $R$ y $S$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a $AC$ y $AB$, respectivamente. La recta $DR$ corta al circuncírculo de $BDS$ en $X$, con $X \neq D$. De manera similar, la recta $DS$ corta al circuncírculo de $CDR$ en $Y$, con $Y \neq D$. Demuestre que si $XY$ es paralelo a $RS$, entonces $D$ es el punto medio de $BC$.

3 Tenemos un gran suministro de sombreros negros, blancos, rojos y verdes. Queremos entregar $8$ de estos sombreros a $8$ estudiantes que están sentados alrededor de una mesa redonda. Encuentre el número de formas de hacerlo en cada uno de los siguientes casos (asumiendo para los propósitos de este problema que los estudiantes no cambiarán sus lugares y que los sombreros del mismo color son idénticos): a) Cada sombrero que se utilice debe ser rojo o verde. b) Se deben utilizar exactamente dos sombreros de cada color. c) Se deben utilizar exactamente dos sombreros de cada color, y cada par de sombreros del mismo color debe entregarse a dos estudiantes adyacentes. d) Se deben utilizar exactamente dos sombreros de cada color, y ningún par de sombreros del mismo color debe entregarse a dos estudiantes adyacentes. e) No hay restricciones sobre el número de sombreros de cada color que se deben utilizar, pero ningún par de sombreros del mismo color debe entregarse a dos estudiantes adyacentes.