2 Hay $2n$ puntos en el plano, de los cuales no hay tres que se encuentren sobre la misma recta. Se trazan algunos segmentos entre ellos de tal manera que no se corten en puntos internos y cualquier segmento con extremos entre los puntos dados corte a alguno de los segmentos trazados en un punto interno. ¿Es cierto que siempre es posible elegir $n$ segmentos trazados que no tengan extremos comunes?

1 Diremos que dos conjuntos de números distintos están $\textit{vinculados}$ entre sí si entre cualesquiera dos números de cada conjunto se encuentra al menos un número del otro conjunto. ¿Es posible llenar las celdas de un rectángulo de $100 \times 200$ con números distintos de modo que cualesquiera dos filas del rectángulo estén vinculadas entre sí, y cualesquiera dos columnas del rectángulo estén vinculadas entre sí?

2 Sea $ABC$ un triángulo, el punto $E$ está en el segmento $AC$, el punto $F$ está en el segmento $AB$ y $P=BE\cap CF$. Sea $D$ un punto tal que $AEDF$ es un paralelogramo. Demuestre que $D$ está en el lado $BC$ si y solo si el triángulo $BPC$ y el cuadrilátero $AEPF$ tienen la misma área.

2 Determine todos los enteros positivos $a$, $b$, $c$, $p$, donde $p$ y $p+2$ son números primos impares y \[2^ap^b=(p+2)^c-1.\] awesomeming327.

7 Sea $n>3$ un entero positivo que satisface $2^n+1=3p$, donde $p$ es un número primo. Sea $s_0=\frac{2^{n-2}+1}{3}$ y $s_i=s_{i-1}^2-2$ para $i>0$. Demuestre que $p \mid 2s_{n-2}-3$.

3 Llamamos a un entero positivo $q$ un $denominador \quad conveniente$ para un número real $\alpha$ si $\displaystyle |\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q}$ para algún entero $p$. Demuestre que si dos números irracionales $\alpha$ y $\beta$ tienen el mismo conjunto de denominadores convenientes, entonces $\alpha+\beta$ o $\alpha- \beta$ es un entero.

1993.14 Demuestre que la suma de los cuadrados de las distancias desde un punto $P$ a los vértices de un triángulo $ABC$ es mínima cuando $P$ es el baricentro del triángulo.

Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ y $AB\neq AC$. Sean $D$ y $E$ puntos en el arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$, tales que $\angle BAE=\angle DAC$. Sean $X$ e $Y$ los incentros de $BAE$ y $CAD$, respectivamente, y sean $Z$ el punto de intersección de las tangentes externas a las circunferencias inscritas de $BAE$ y $CAD$. Demuestre que $Z$ yace sobre la cuerda común de $\Gamma$ y la circunferencia circunscrita de $AXY$.

4 Llame a un subconjunto de dos elementos de $\mathbb{N}$ "lindo" si contiene exactamente un número primo y un número compuesto. Determine todos los polinomios $f \in \mathbb{Z}[x]$ tales que para todo subconjunto lindo $\{ p,q \}$, el subconjunto $\{ f(p) + q, f(q) + p \}$ sea también lindo. Propuesto por Valentio Iverson (Indonesia)

3 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todo $x, y$ reales, se cumple la siguiente relación: $$(x+y) \cdot f(x+y)= f(f(x)+y) \cdot f(x+f(y)).$$ Propuesto por Vadym Koval (Ucrania)