2005.G6 Sean $AM$ y $AN$ las tangentes a un círculo $\Gamma$ trazadas desde un punto $A$ ($M$ y $N$ yacen sobre el círculo). Una recta que pasa por $A$ corta a $\Gamma$ en $B$ y $C$, con $B$ entre $A$ y $C$ tal que $AB: BC = 2: 3$. Si $P$ es el punto de intersección de $AB$ y $MN$, calcule la razón $AP: CP$.

4 Llame a un subconjunto de dos elementos de $\mathbb{N}$ "lindo" si contiene exactamente un número primo y un número compuesto. Determine todos los polinomios $f \in \mathbb{Z}[x]$ tales que para todo subconjunto lindo $\{ p,q \}$, el subconjunto $\{ f(p) + q, f(q) + p \}$ sea también lindo. Propuesto por Valentio Iverson (Indonesia)

5 Encuentre todos los pares de enteros positivos $(s, t)$ tales que para cualesquiera dos enteros positivos distintos $a$ y $b$ existe algún entero positivo $n$ para el cual $$a^s + b^t | a^n + b^{n+1}.$$ Propuesto por Oleksii Masalitin (Ucrania)

3. Un cuadrado de 6×6 ha sido recubierto por 18 dominós. Demuestre que existe una línea que divide al cuadrado en dos partes, cada una de las cuales también está recubierta por dominós.

5 Un cuadrilátero $ABCD$ tiene un círculo inscrito $\Gamma$. Los puntos $X, Y$ se eligen de tal manera que $AX-CX=AB-BC$, $BX-DX=BC-CD$, $CY-AY=AD-DC$ y $DY-BY=AB-AD$. Dado que el centro de $\Gamma$ se encuentra sobre $XY$, demuestre que $AC, BD, XY$ son concurrentes.

2003.G7.3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $\angle{B}=60^\circ$. El círculo con diámetro $AC$ corta a las bisectrices internas de $A$ y $C$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente $(M\neq{A},$ $N\neq{C})$. La bisectriz interna de $\angle{B}$ corta a $MN$ y $AC$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Demuestre que $BR\leq{RS}$.

6 Sea $ABC$ un triángulo escaleno con incentro $I$ y circuncírculo $\omega$. Las bisectrices interna y externa del ángulo $\angle BAC$ cortan a $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $M$ el punto en el segmento $AC$ tal que $MC = MB$. La tangente a $\omega$ en $B$ se encuentra con $MD$ en $S$. Los circuncírculos de los triángulos $ADE$ y $BIC$ se cortan en $P$ y $Q$. Si $AS$ corta a $\omega$ en un punto $K$ distinto de $A$, demuestre que $K$ yace sobre $PQ$. Propuesto por Alexandru Lopotenco (Moldavia)

2 2. Sea ABCD un cuadrilátero convexo. Encuentre la condición necesaria y suficiente para la existencia de un punto P en el interior del cuadrilátero tal que los triángulos ABP, BCP, CDP y DAP tengan la misma área.

4 Sea $n$ un entero positivo mayor que $1$ y llamemos a un conjunto arbitrario de celdas en un cuadrado de $n\times n$ $\textit{bueno}$ si son las celdas de intersección de varias filas y varias columnas, tales que ninguna de esas celdas se encuentra en la diagonal principal. ¿Cuál es el número mínimo de conjuntos $\textit{buenos}$ disjuntos dos a dos necesarios para cubrir toda la tabla sin la diagonal principal?

2 Hay $2n$ puntos en el plano, de los cuales no hay tres que se encuentren sobre la misma recta. Se trazan algunos segmentos entre ellos de tal manera que no se corten en puntos internos y cualquier segmento con extremos entre los puntos dados corte a alguno de los segmentos trazados en un punto interno. ¿Es cierto que siempre es posible elegir $n$ segmentos trazados que no tengan extremos comunes?