2 Encuentre todos los polinomios $P(x)$ tales que \[ P(x^3+1)=P(x^3)+P(x^2). \] Propuesto por A. Golovanov

1 Hay seis puntos en un plano. Escribimos las distancias entre cada par de ellos. Sea $d$ el menor de estos números y $D$ el mayor. Demuestre que $D \geq d \sqrt{3}$.

1. 50 caballeros del Rey Arturo estaban sentados a la Mesa Redonda. Una copa de vino blanco o tinto estaba frente a cada uno de ellos. Se sabe que al menos una copa de vino tinto y al menos una copa de vino blanco estaban sobre la mesa. El rey aplaudió dos veces. Después del primer aplauso, cada caballero con una copa de vino tinto frente a él tomó una copa de su vecino de la izquierda. Después del segundo aplauso, cada caballero con una copa de vino blanco (y posiblemente algo más) frente a él entregó esta copa al vecino de la izquierda de su vecino de la izquierda. Demuestre que algún caballero se quedó sin vino. Propuesto por A. Khrabrov, traducción incorrecta del húngaro.

2 Dos jugadores juegan un juego en un tablero infinito que consiste en cuadrados unitarios. El jugador $I$ elige un cuadrado y lo marca con $O$. Luego, el jugador $II$ elige otro cuadrado y lo marca con $X$. Juegan hasta que uno de los jugadores marca una fila completa o una columna completa de cinco cuadrados consecutivos, y este jugador gana el juego. Si ningún jugador puede lograr esto, el resultado del juego es un empate. Demuestre que el jugador $II$ puede evitar que el jugador $I$ gane.

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. Sean $D, E, F$ los puntos medios de los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente, y sean $M, N$ los puntos medios del arco menor $BC$ que no contiene a $A$ y del arco mayor $BAC$ respectivamente. Suponga que $W, X, Y, Z$ son el incentro, el $D$-excentro, el $E$-excentro y el $F$-excentro del triángulo $DEF$ respectivamente. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $ABC$, $WNX$ y $YMZ$ se cortan en un punto común. Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

3 Dos ladrones robaron una cadena abierta con $2k$ cuentas blancas y $2m$ cuentas negras. Ellos desean repartirse el botín equitativamente, cortando la cadena en piezas de tal manera que cada uno obtenga $k$ cuentas blancas y $m$ cuentas negras. ¿Cuál es el número mínimo de cortes que siempre es suficiente?

5 Dado un entero positivo $n$, hay $n$ cajas $B_1,...,B_n$. Se puede utilizar el siguiente procedimiento para añadir bolas: $$\text{(Procedimiento) Elegidos dos enteros positivos }n\geq i\geq j\geq 1\text{, añadimos una bola a cada una de las cajas }B_k\text{ tales que }i\geq k\geq j.$$ Para enteros positivos $x_1,...,x_n$, sea $f(x_1,...,x_n)$ la cantidad mínima de procedimientos para lograr que todas las cajas tengan una cantidad de bolas que sea múltiplo de 3, comenzando con $x_i$ bolas para $B_i(i=1,...,n)$. Encuentre el mayor valor posible de $f(x_1,...,x_n)$. (Si $x_1,...,x_n$ son todos múltiplos de 3, $f(x_1,...,x_n)=0$.)

4 Dos círculos dados $\alpha$ y $\beta$ se cortan en dos puntos. Encuentre el lugar geométrico de los centros de todos los círculos que son ortogonales tanto a $\alpha$ como a $\beta$.

6 Sean $a_0, a_1, a_2, ..., a_{n+1}$ una sucesión finita de números reales, tal que $a_0 = a_{n+1} = 0$. Demuestre que existe un número natural $k$, $0 \le k \le n$, tal que cada suma de la forma $a_{k+1} + a_{k+2} + ... + a_r$ con $k+1 \le r \le n+1$ es mayor o igual a cero y cada suma de la forma $a_k + a_{k-1} + ... + a_s$ con $k \ge s \ge 0$ es menor o igual a cero.

3 Sea $P$ un punto en el interior del triángulo equilátero $\triangle ABC$ tal que $m(\widehat{APB})=150^\circ$, $|AP|=2\sqrt 3$ y $|BP|=2$. Encuentre $|PC|$.