3 Un ratón está jugando al juego de la rayuela para ratones. En la rayuela para ratones hay una línea recta de $11$ casillas, y comenzando en la primera casilla, el ratón debe llegar a la última casilla saltando hacia adelante $1$, $2$ o $3$ casillas a la vez (por lo tanto, en particular, el primer salto del ratón puede ser a la segunda, tercera o cuarta casilla). El ratón no puede saltar más allá de la última casilla. Calcule el número de formas que existen para completar la rayuela para ratones.

5 ¿Existen números primos $p$ y $q$ mayores que $3$, tales que $p^2-1$ sea divisible por $q$ y $q^2-1$ sea divisible por $p$?

5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, con circunferencia circunscrita $\omega$ y circuncentro $O$. Sea $AB$ la intersección de $CD$ en $E$, $AD$ la intersección de $BC$ en $F$, y $AC$ la intersección de $BD$ en $G$. Los puntos $A_1, B_1, C_1, D_1$ se eligen en los rayos $GA$, $GB$, $GC$, $GD$ tales que: $\bullet$ $\displaystyle \frac{GA_1}{GA} = \frac{GB_1}{GB} = \frac{GC_1}{GC} = \frac{GD_1}{GD}$ $\bullet$ Los puntos $A_1, B_1, C_1, D_1, O$ yacen sobre un círculo. Sea $A_1B_1$ la intersección de $C_1D_1$ en $K$, y $A_1D_1$ la intersección de $B_1C_1$ en $L$. Demuestre que la imagen del círculo $(A_1B_1C_1D_1)$ bajo la inversión respecto a $\omega$ es una recta que pasa por los puntos medios de $KE$ y $LF$. Propuesto por Anzo Teh Zhao Yang e Ivan Chan Kai Chin

3 Sea $p$ un primo impar y sean $a,b,c$ enteros tales que los enteros $$a^{2023}+b^{2023},\quad b^{2024}+c^{2024},\quad a^{2025}+c^{2025}$$ son divisibles por $p$. Demuestre que $p$ divide a cada uno de $a,b,c$. $\quad$ Propuesto por Navilarekallu Tejaswi

1 En el triángulo $ABC$ con $CA=CB$, el punto $E$ se encuentra en el circuncírculo de $ABC$ tal que $\angle ECB=90^{\circ}$. La recta que pasa por $E$ y es paralela a $CB$ corta a $CA$ en $F$ y a $AB$ en $G$. Demuestre que el centro del circuncírculo del triángulo $EGB$ se encuentra en el circuncírculo del triángulo $ECF$. Propuesto por Prithwijit De

3 De un rectángulo de $n\times (n-1)$ dividido en cuadrados unitarios, recortamos la esquina, la cual consiste en la primera fila y la primera columna (es decir, la esquina tiene $2n-2$ cuadrados unitarios). Para lo siguiente, cuando decimos esquina nos referimos a la definición anterior, junto con rotaciones y simetrías. Considere una cuadrícula infinita de cuadrados unitarios. Colorearemos los cuadrados con $k$ colores, de tal manera que para cualquier esquina, los cuadrados en esa esquina estén coloreados de forma diferente (esto significa que no hay cuadrados coloreados con el mismo color). Encuentre el mínimo de $k$. Propuesto por S. Berlov

Sean $d_1, d_2, \dots, d_n$ enteros positivos que son divisores de $1995$. Demuestre que existen $d_i$ y $d_j$ entre ellos, tales que el denominador de la fracción irreducible $d_i/d_j$ es al menos $n$.

2 Todos los cuadrados de un tablero de $2024 \times 2024$ están coloreados de blanco. En un movimiento, Mohit puede seleccionar una fila o columna cuyos cuadrados sean todos blancos, elegir exactamente $1000$ cuadrados en esa fila o columna y colorearlos todos de rojo. Encuentre el número máximo de cuadrados que Mohit puede colorear en un número finito de movimientos. $\quad$ Propuesto por Pranjal Srivastava

2 Calcule el número de enteros entre $1$ y $100$, inclusive, que tienen un número impar de factores. Note que $1$ y $4$ son los dos primeros números con esta propiedad.

4 Demuestre que \[ a^2b^2(a^2+b^2-2) \geq (a+b)(ab-1) \] para todos los números reales positivos $a$ y $b.$