6 Suponga que hay $n$ puntos en el plano, de los cuales no hay tres que sean colineales. Dibuje $n-1$ segmentos que no se corten (excepto posiblemente en los extremos) entre pares de puntos, de tal manera que sea posible viajar entre cualesquiera dos puntos desplazándose a lo largo de los segmentos. Tal configuración de puntos y segmentos se denomina red. Dada una red, podemos asignar etiquetas del $1$ al $n-1$ a cada segmento de modo que cada segmento obtenga una etiqueta diferente. Defina un giro como la siguiente operación: $\bullet$ Elija un punto $v$ y rote las etiquetas de sus segmentos adyacentes en sentido horario. Formalmente, sean $e_1,e_2,\cdots,e_k$ los segmentos que contienen a $v$ como extremo, ordenados en sentido horario (no importa qué segmento elijamos como $e_1$). Entonces, la etiqueta de $e_{i+1}$ es reemplazada por la etiqueta de $e_{i}$ simultáneamente para todo $1 \le i \le k$ (donde $e_{k+1}=e_{1}$). Una red es no trivial si existen al menos $2$ puntos con al menos $2$ segmentos adyacentes cada uno. Una red es versátil si cualquier etiquetado de sus segmentos puede obtenerse a partir de cualquier etiquetado inicial utilizando una cantidad finita de giros. Encuentre todos los enteros $n \ge 5$ tales que cualquier red no trivial con $n$ puntos sea versátil. Propuesto por Yeoh Zi Song

1 Calcule el entero positivo más pequeño que es $3$ más que un múltiplo de $5$, y el doble de un múltiplo de $6$.

6 Para un entero positivo $n\geq 3$ y números reales $a_1,...,a_n,b_1,...,b_n$, demuestre lo siguiente: $$\sum_{i=1}^n a_i(b_i-b_{i+3})\leq\frac{3n}{8}\sum_{i=1}^n((a_i-a_{i+1})^2+(b_i-b_{i+1})^2)$$ ($a_{n+1}=a_1$, y para $i=1,2,3$ $b_{n+i}=b_i$).

4 Demuestre la desigualdad \[ {x\over y^2-z}+{y\over z^2-x}+{z\over x^2-y} > 1, \] donde $2 < x, y, z < 4.$ Propuesto por A. Golovanov

5 Dado un entero positivo $n$, hay $n$ cajas $B_1,...,B_n$. Se puede utilizar el siguiente procedimiento para añadir bolas: $$\text{(Procedimiento) Elegidos dos enteros positivos }n\geq i\geq j\geq 1\text{, añadimos una bola a cada una de las cajas }B_k\text{ tales que }i\geq k\geq j.$$ Para enteros positivos $x_1,...,x_n$, sea $f(x_1,...,x_n)$ la cantidad mínima de procedimientos para lograr que todas las cajas tengan una cantidad de bolas que sea múltiplo de 3, comenzando con $x_i$ bolas para $B_i(i=1,...,n)$. Encuentre el mayor valor posible de $f(x_1,...,x_n)$. (Si $x_1,...,x_n$ son todos múltiplos de 3, $f(x_1,...,x_n)=0$.)

4 $ABCD$ es un cuadrilátero convexo tal que $\angle ABC=\angle ADC=120^{\circ}$. Sea $M$ el punto medio de $AC$. Sean $X$, $Y$ puntos en los rayos $MB, MD$ tales que $MX=3MB$ y $MY=3MD$. Sea $P$ la intersección de las bisectrices internas de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle ADC$. Si $P$ se encuentra en el interior de $ABCD$, demuestre que $\angle BPX=\angle DPY$. Propuesto por Hyunwoo Choi

4 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$ e incentro $I$. Si $AI=3$ y la distancia de $I$ a $BC$ es $2$, ¿cuál es el cuadrado de la longitud de $BC$?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $CD$ la altura, $H$ el ortocentro y $O$ el circuncentro del $\triangle ABC$. La recta que pasa por el punto $D$ y es perpendicular a $OD$ interseca a $BC$ en $E$. Demuestre que $\angle DHE = \angle ABC$.

3 Sita y Geeta son dos hermanas. Si la edad de Sita se escribe después de la edad de Geeta, se obtiene un cuadrado perfecto de cuatro dígitos. Si se repite el mismo ejercicio después de 13 años, se obtendrá otro cuadrado perfecto de cuatro dígitos. ¿Cuál es la suma de las edades actuales de Sita y Geeta?

2 Si $ABCD$ es un rectángulo y $P$ es un punto en su interior tal que $AP=33, BP=16, DP=63$. Encuentre $CP$.