2 Escriba los enteros positivos que consisten solo en $1$ s, $6$ s y $9$ s en orden ascendente como en: $1,6,9,11,16,\dots$. a. Encuentre el orden de $1996$ en la sucesión. b. Encuentre el término número $1996$ en la sucesión.

1 Hay $20$ bolas en una bolsa. $a$ de ellas son rojas, $b$ de ellas son blancas y $c$ de ellas son negras. Se sabe que: • si duplicamos las bolas blancas, la probabilidad de extraer una bola roja es $\dfrac 1{25}$ menor que la probabilidad de extraer una bola roja al principio, y • si retiramos todas las bolas rojas, la probabilidad de extraer una bola blanca es $\dfrac 1{16}$ mayor que la probabilidad de extraer una bola blanca al principio. Encuentre $a,b,c$.

1 Hay 100 boxeadores, cada uno de ellos con diferentes fuerzas, que participan en un torneo. Cualquiera de ellos pelea contra los demás solo una vez. Varios boxeadores forman una conspiración. En uno de sus combates, esconden en su guante una herradura. Si en una pelea, solo uno de los boxeadores tiene una herradura escondida, él gana la pelea; de lo contrario, gana el boxeador más fuerte. Se sabe que hay tres boxeadores que obtuvieron (estrictamente) más victorias que los tres boxeadores más fuertes. ¿Cuál es el número mínimo de conspiradores? Propuesto por N. Kalinin

4 Para un entero positivo, definimos su conjunto de exponentes como la lista desordenada de todos los exponentes de los números primos en su descomposición. Por ejemplo, $18=2\cdot 3^{2}$ tiene como conjunto de exponentes $1,2$ y $300=2^{2}\cdot 3\cdot 5^{2}$ tiene como conjunto de exponentes $1,2,2$. Se dan dos progresiones aritméticas $(a_{n})_{n}$ y $(b_{n})_{n}$, tales que para cualquier entero positivo $n$, $a_{n}$ y $b_{n}$ tienen el mismo conjunto de exponentes. Demuestre que las progresiones son proporcionales (es decir, existe $k$ tal que $a_{n}=kb_{n}$ para todo $n$). Propuesto por A. Golovanov

2 Sea $ABC$ un triángulo, $G$ su baricentro, $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio del arco $\widehat{AC}$ (que no contiene a $B$). Se sabe que $MG=R$, donde $R$ es el radio del circuncírculo. Demuestre que $BG\geq BH$. Propuesto por F. Bakharev

3 De un rectángulo de $n\times (n-1)$ dividido en cuadrados unitarios, recortamos la esquina, la cual consiste en la primera fila y la primera columna (es decir, la esquina tiene $2n-2$ cuadrados unitarios). Para lo siguiente, cuando decimos esquina nos referimos a la definición anterior, junto con rotaciones y simetrías. Considere una cuadrícula infinita de cuadrados unitarios. Colorearemos los cuadrados con $k$ colores, de tal manera que para cualquier esquina, los cuadrados en esa esquina estén coloreados de forma diferente (esto significa que no hay cuadrados coloreados con el mismo color). Encuentre el mínimo de $k$. Propuesto por S. Berlov

4 $ABCD$ es un cuadrilátero convexo tal que $\angle ABC=\angle ADC=120^{\circ}$. Sea $M$ el punto medio de $AC$. Sean $X$, $Y$ puntos en los rayos $MB, MD$ tales que $MX=3MB$ y $MY=3MD$. Sea $P$ la intersección de las bisectrices internas de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle ADC$. Si $P$ se encuentra en el interior de $ABCD$, demuestre que $\angle BPX=\angle DPY$. Propuesto por Hyunwoo Choi

3 Sea $p > 10^9$ un número primo tal que $4p + 1$ también es primo. Demuestre que la expansión decimal de $\frac{1}{4p+1}$ contiene todos los dígitos $0, 1, \ldots, 9$.

2 Sea el incírculo del triángulo $ABC$ que corta a los lados $BC$, $CA$, $AB$ en $D$, $E$, $F$, y sea el $A$-ex-círculo que corta a las rectas $BC$, $CA$, $AB$ en $P$, $Q$, $R$. Sea la recta que pasa por $A$ y es perpendicular a $BC$ que corta a las rectas $EF$, $QR$ en $K$, $L$. Sea la intersección de $LD$ y $EF$ igual a $S$, y la intersección de $KP$ y $QR$ igual a $T$. Demuestre que $A$, $S$, $T$ son colineales.

1 Encuentre todos los números reales $x_1, \dots, x_{2016}$ que satisfacen la siguiente ecuación para cada $1 \le i \le 2016$. (Aquí $x_{2017} = x_1$.) \[ x_i^2 + x_i - 1 = x_{i+1} \]