4 Considere un cuadrado de longitud de lado $n$ y $(n+1)^2$ puntos interiores. Demuestre que podemos elegir $3$ de estos puntos de tal manera que determinen un triángulo (posiblemente degenerado) de área a lo sumo $\frac12$.

1 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que \[ f( xf(x) + f(y) ) = f^2(x) + y \] para todo $x,y\in \mathbb R$.

3 Sea $ a>1$ un entero positivo. Demuestre que todo entero positivo no nulo $ N$ tiene un múltiplo en la sucesión $ (a_n)_{n\ge1}$ , $ a_n=\left\lfloor\frac{a^n}n\right\rfloor$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D$ el punto medio de $BC$. Sea $E$ un punto en el segmento $AD$ y $M$ su proyección sobre $BC$. Si $N$ y $P$ son las proyecciones de $M$ sobre $AB$ y $AC$, respectivamente, entonces las bisectrices interiores de $\angle NMP$ y $\angle NEP$ son paralelas.

1 Encuentre todos los enteros positivos n>2 tales que la suma de n y cualquiera de sus divisores primos sea un cuadrado perfecto.

3 ¿Cuántos rectángulos de $1 \times 10\sqrt 2$ se pueden cortar de un rectángulo de $50\times 90$ usando cortes paralelos a sus lados? Valentin

2 Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $abc=8$. Demuestre que \[ \frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}} +\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}} +\frac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}} \geq \frac{4}{3} \]

4 Pedro tiene $111$ fichas azules y $88$ fichas blancas. Existe una máquina que, por cada $14$ fichas azules, entrega $11$ fichas blancas y, por cada $7$ fichas blancas, entrega $13$ fichas azules. Decida si Pedro puede lograr, mediante operaciones sucesivas con la máquina, aumentar el número total de fichas en $33$, de tal manera que el número de fichas azules sea igual a $\frac53$ de la cantidad de fichas blancas. Si es posible, indique cómo hacerlo. Si no, indique por qué.

3 Demuestre que existe un triángulo que puede ser cortado en 2005 triángulos congruentes.

3 La sucesión $a_1, a_2,..., a_{2000}$ de números reales satisface la condición \[a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=(a_1+a_2+...+a_n)^2\] para todo $n$, $1\leq n \leq 2000$. Demuestre que cada elemento de la sucesión es un entero.