El punto $P$ se encuentra en el interior de un triángulo escaleno $ABC$ con incentro $I$ tal que: $$ 2\angle ABP = \angle BCA , 2\angle ACP = \angle CBA $$ Las rectas $PB$ y $PC$ intersecan a la recta $AI$ en $B'$ y $C'$ respectivamente. La recta que pasa por $B'$ y es paralela a $AB$ interseca a $BI$ en $X$, y la recta que pasa por $C'$ y es paralela a $AC$ interseca a $CI$ en $Y$. Demuestre que los triángulos $PXY$ y $ABC$ son semejantes.

3 Dos círculos con radios a y b respectivamente se tocan externamente. Sea c el radio de un círculo que toca a estos dos círculos así como a una tangente común a los dos círculos. Demuestre que \[ \frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\]

4 Demuestre que para cualquier $n$ podemos encontrar un conjunto $X$ de $n$ enteros distintos mayores que 1, tales que el promedio de los elementos de cualquier subconjunto de $X$ sea un cuadrado, un cubo o una potencia superior. Valentin

4 Hay piezas con forma de triángulo equilátero de lados $1, 2, 3, 4, 5$ y $6$ ($50$ piezas de cada tamaño). Se desea construir un triángulo equilátero de lado $7$ utilizando algunas de estas piezas, sin dejar huecos ni superposiciones. ¿Cuál es el número mínimo de piezas necesarias?

2 Llamamos $S(n)$ a la suma de los dígitos del entero $n$. Por ejemplo, $S(327)=3+2+7=12$. Encuentre el valor de $$A=S(1)-S(2)+S(3)-S(4)+...+S(2011)-S(2012).$$ ($A$ tiene $2012$ términos).

4 Demuestre que en todo polígono existe una diagonal que corta un triángulo y se encuentra dentro del polígono.

3 Considere los puntos $1,\frac12,\frac13,...$ en el eje real. Encuentre el valor más pequeño $k \in \mathbb{N}_0$ para el cual todos los puntos anteriores pueden ser cubiertos con 5 intervalos cerrados de longitud $\frac1k$.

3 Sea $G$ el baricentro de un triángulo $ABC$ y sea $d$ una recta que corta a $AB$ y $AC$ en $B_{1}$ y $C_{1}$, respectivamente, tal que los puntos $A$ y $G$ no están separados por $d$. Demuestre que: $[BB_{1}GC_{1}]+[CC_{1}GB_{1}] \geq \frac{4}{9}[ABC]$.

6 Ali está organizando una gran fiesta. Junto con sus $n-1$ amigos, $n$ personas están sentadas alrededor de una mesa circular en un orden fijo. Ali coloca $n$ manzanas para servir directamente frente a él y quiere distribuirlas entre todos. Dado que a Ali y a sus amigos no les gusta comer solos y no comenzarán a menos que todos reciban una manzana al mismo tiempo, en cada paso, cada persona que tiene al menos una manzana pasa una manzana a la primera persona a su derecha que no tiene una manzana (en el sentido de las agujas del reloj). Encuentre todos los valores de $n$ tales que, después de cierto número de pasos, la situación llegue a un punto en el que cada persona tenga exactamente una manzana.

2 Ali y Shayan están jugando un juego por turnos en una cuadrícula infinita. Inicialmente, todas las celdas son blancas. Ali comienza el juego y, en el primer turno, colorea un cuadrado unitario de negro. En los turnos siguientes, cada jugador debe colorear un cuadrado blanco que comparta al menos un lado con un cuadrado negro. El juego continúa durante exactamente 2808 turnos, después de los cuales cada jugador ha realizado 1404 movimientos. Sea $A$ el conjunto de celdas negras al final del juego. Ali y Shayan buscan minimizar y maximizar, respectivamente, el perímetro de la forma $A$ jugando de manera óptima. (El perímetro de la forma $A$ se define como la longitud total de los segmentos de frontera entre una celda negra y una blanca). ¿Cuáles son los posibles valores del perímetro de $A$, asumiendo que ambos jugadores juegan de manera óptima?