6 Ali está organizando una gran fiesta. Junto con sus $n-1$ amigos, $n$ personas están sentadas alrededor de una mesa circular en un orden fijo. Ali coloca $n$ manzanas para servir directamente frente a él y quiere distribuirlas entre todos. Dado que a Ali y a sus amigos no les gusta comer solos y no comenzarán a menos que todos reciban una manzana al mismo tiempo, en cada paso, cada persona que tiene al menos una manzana pasa una manzana a la primera persona a su derecha que no tiene una manzana (en el sentido de las agujas del reloj). Encuentre todos los valores de $n$ tales que, después de cierto número de pasos, la situación llegue a un punto en el que cada persona tenga exactamente una manzana.

1 Demuestre que para todo número real irracional $a$, existen números reales irracionales $b$ y $b'$ tales que $a+b$ y $ab'$ son ambos racionales, mientras que $ab$ y $a+b'$ son ambos irracionales.

11-12

2019.11.3 El punto $C \ne A, B$ pertenece a un círculo de diámetro $AB$. El punto $D$ divide el arco menor $BC$ por la mitad. Las rectas $AD$ y $BC$ se intersecan en el punto $E$. Encuentre la longitud del segmento $AB$ si $CE = 3$ y $BD = 2\sqrt5$.

4 Considere un polinomio real $p(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$. (a) Si $\deg(p(x))>2$, demuestre que $\deg(p(x)) = 2 + \deg(p(x+1)+p(x-1)-2p(x))$. (b) Sea $p(x)$ un polinomio para el cual existen constantes reales $r,s$ tales que para todo $x$ real tenemos \[ p(x+1)+p(x-1)-rp(x)-s=0 \] Demuestre que $\deg(p(x))\le 2$. (c) Demuestre, en (b), que $s=0$ implica $a_2=0$.

2022.10.3 En los lados $AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$, se marcan los puntos $M$ y $N$, respectivamente, tales que $MC = AC$ y $NB = AB$. Los puntos $A$ y $P$ son simétricos con respecto a la recta $BC$. Demuestre que la recta $PA$ biseca el ángulo $MPN$.

3 Considere los puntos $1,\frac12,\frac13,...$ en el eje real. Encuentre el valor más pequeño $k \in \mathbb{N}_0$ para el cual todos los puntos anteriores pueden ser cubiertos con 5 intervalos cerrados de longitud $\frac1k$.

2 Determine el mcd de todos los números de la forma $p^8-1$, con p un número primo mayor que 5.

1 Cuatro parejas juegan al ajedrez juntas. Para el encuentro, se emparejan de la siguiente manera: ("esposo de Clara" indica el marido de Clara, etc.) \[Bea \Longleftrightarrow Eddy\] \[An \Longleftrightarrow esposo\ de\ Clara\] \[Freddy \Longleftrightarrow esposa\ de\ Guy\] \[Debby \Longleftrightarrow esposo\ de\ An\] \[Guy \Longleftrightarrow esposa\ de\ Eddy\] ¿Con quién está casado $Hubert$?

2 Llamamos $S(n)$ a la suma de los dígitos del entero $n$. Por ejemplo, $S(327)=3+2+7=12$. Encuentre el valor de $$A=S(1)-S(2)+S(3)-S(4)+...+S(2011)-S(2012).$$ ($A$ tiene $2012$ términos).