2 Sea $\overline{a_{n}a_{n-1}\ldots a_{1}a_{0}}$ la representación decimal de un entero positivo primo tal que $n>1$ y $a_{n}>1$. Demuestre que el polinomio $P(x)=a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$ no puede escribirse como el producto de dos polinomios de coeficientes enteros no constantes.

3 La sucesión $a_1, a_2,..., a_{2000}$ de números reales satisface la condición \[a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=(a_1+a_2+...+a_n)^2\] para todo $n$, $1\leq n \leq 2000$. Demuestre que cada elemento de la sucesión es un entero.

4 Hay piezas con forma de triángulo equilátero de lados $1, 2, 3, 4, 5$ y $6$ ($50$ piezas de cada tamaño). Se desea construir un triángulo equilátero de lado $7$ utilizando algunas de estas piezas, sin dejar huecos ni superposiciones. ¿Cuál es el número mínimo de piezas necesarias?

2025.11.2 Un pentágono $ABCDE$ está inscrito en un círculo tal que los arcos $ABC$, $BCD$ y $CDE$ son iguales. La recta $\ell$, que pasa por el punto $C$, corta a los segmentos $AD$ y $BE$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. El punto $P$ se encuentra en el segmento $CQ$. Demuestre que $\angle PAQ=\angle PEQ.$

Dados $25$ puntos en un plano, tales que para cualesquiera $3$ puntos existen $2$ puntos cuya distancia es menor a $1$ $cm$. Demuestre que al menos $13$ puntos se encuentran en un círculo de radio $1$ $cm$.

1 Sea $n$ un entero positivo y sean $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}$ sus divisores, tales que $1=d_{1}<d_{2}<\ldots <d_{k}=n$. Encuentre todos los valores de $n$ para los cuales $k\geq 4$ y $n=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}$.

5 Hay 12 personas tales que para cada persona A y persona B existe una persona C que es amiga de ambas. Determine el número mínimo de pares de amigos y construya un grafo donde las aristas representen amistades.

2017.10.3 El punto $L$ está marcado en la hipotenusa $AB$ del triángulo rectángulo $ABC$. El circuncírculo del triángulo $ACL$ interseca a la recta $BC$ en un punto $M \ne C$, y el circuncírculo del triángulo $BCL$ interseca a la recta $AC$ en un punto $N \ne C$. Encuentre el ángulo entre las rectas $AM$ y $BN$.

2 Determine el mcd de todos los números de la forma $p^8-1$, con p un número primo mayor que 5.

1 Cuatro parejas juegan al ajedrez juntas. Para el encuentro, se emparejan de la siguiente manera: ("esposo de Clara" indica el marido de Clara, etc.) \[Bea \Longleftrightarrow Eddy\] \[An \Longleftrightarrow esposo\ de\ Clara\] \[Freddy \Longleftrightarrow esposa\ de\ Guy\] \[Debby \Longleftrightarrow esposo\ de\ An\] \[Guy \Longleftrightarrow esposa\ de\ Eddy\] ¿Con quién está casado $Hubert$?