7 Sea $\omega$ un círculo en el plano. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ círculos que son tangentes internamente a $\omega$ en los puntos $A$ y $B$ respectivamente. Sean los centros de $\omega_1$ y $\omega_2$, $O_1$ y $O_2$ respectivamente, y sean los puntos de intersección de $\omega_1$ y $\omega_2$, $X$ e $Y$. Suponga que $X$ se encuentra sobre la recta $AB$. Sea la tangente externa común a $\omega_1$ y $\omega_2$ que está más cerca del punto $Y$ tangente a los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ en $K$ y $L$ respectivamente. Sea el segundo punto de intersección de la recta $AK$ y $\omega$, $P$, y sea el segundo punto de intersección del circuncírculo de $PKL$ y $\omega$, $S$. Sea el circuncentro de $AKL$, $Q$, y sean los puntos de intersección de $SQ$ y $O_1O_2$, $R$. Demuestre que $$\frac{\overline{O_1R}}{\overline{RO_2}}=\frac{\overline{AX}}{\overline{XB}}$$

2 Para todo entero positivo $n$, la función $\gamma: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}_{\geq 0}$ se define como $\gamma(1) = 0$ y, para todo $n > 1$, si la factorización en primos de $n$ es $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}$, entonces $\gamma(n) = \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_k$. Tenemos una sucesión aritmética $X = \{x_i\}_{i=1}^{\infty}$. Si para un entero positivo $a > 1$, la sucesión $\{ \gamma(a^{x_i} -1) \}$ es también una sucesión aritmética, demuestre que la sucesión $X$ debe ser constante.

3 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que, para todo $x,y \in \mathbb{R}-\{0\}$, $$ f(x) \neq 0 \text{ y } \frac{f(x)}{f(y)} + \frac{f(y)}{f(x)} - f \left( \frac{x}{y}-\frac{y}{x} \right) =2 $$

5 Sean $n>d$ enteros positivos. Elija $n$ puntos aleatorios independientes, distribuidos uniformemente $x_1,\dots,x_n$ en la bola unitaria $B \subset \mathbb{R}^d$ centrada en el origen. Para un punto $p \in B$, denote por $f(p)$ la probabilidad de que la envolvente convexa de $x_1,\dots,x_n$ contenga a $p$. Demuestre que si $p,q \in B$ y la distancia de $p$ al origen es menor que la distancia de $q$ al origen, entonces $f(p) \ge f(q)$.

7 Sea $n$ un entero positivo. Suponga que $A$ y $B$ son matrices invertibles de $n \times n$ con entradas complejas tales que $A+B=I$ (donde $I$ es la matriz identidad) y \[(A^2+B^2)(A^4+B^4)=A^5+B^5.\] Encuentre todos los valores posibles de $\det(AB)$ para el $n$ dado.

6 Demuestre que para cualquier función $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Z}$, existen $a,b,c \in \mathbb{Q}$ tales que $a<b<c$, $f(b) \ge f(a)$ y $f(b) \ge f(c)$.

3 Dado un entero positivo $m$, encuentre el número real máximo $C$ tal que para cualquier entero positivo $n$ y cualquier permutación $a_1, a_2, \dots, a_n$ de $1, 2, \dots, n$, existe un entero positivo $1 \leq k \leq m$ tal que $$\sum_{i=1}^{n} a_i a_{i+k} \geq Cn^3,$$ donde los índices se toman módulo $n$. Propuesto por Zhenyu Dong