6 Sea $ABC$ un triángulo escaleno con incentro $I$ e incírculo $\omega$. Sean $D, E$ y $F$ los puntos de tangencia de $\omega$ con $BC, AC$ y $AB$, respectivamente. Sea $EF$ la recta que corta al circuncírculo de $ABC$ en los puntos $G$ y $H$. Suponga que $E$ se encuentra entre los puntos $F$ y $G$. Sea $\Gamma$ un círculo que pasa por $G$ y $H$ y que es tangente a $\omega$ en el punto $M$, el cual se encuentra en un semiplano distinto al de $D$ con respecto a la recta $EF$. Sea $\Gamma$ el círculo que corta a $BC$ en los puntos $K$ y $L$, y sea $N$ el segundo punto de intersección del circuncírculo de $ABC$ y el circuncírculo de $AKL$. Demuestre que el punto de intersección de $NM$ y $AI$ se encuentra en el circuncírculo de $ABC$ si y solo si el punto de intersección de $HB$ y $GC$ se encuentra en $\Gamma$.