La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. FelixD 588 publicaciones FelixD #1 h 1 de oct. de 2009, 4:40 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Los números $ 0$ , $ 1$ , $ \dots$ , $ n$ ( $ n \ge 2$ ) están escritos en una pizarra. En cada paso borramos un entero que sea la media aritmética de dos números diferentes que aún permanezcan en la pizarra. Realizamos dichos pasos hasta que no se pueda borrar ningún otro entero. Sea $ g(n)$ el menor número posible de enteros que quedan en la pizarra al final. Encuentre $ g(n)$ para todo $ n$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. FelixD 588 publicaciones FelixD #1 h 1 de octubre de 2009, 4:44 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Coloreamos cada casilla de un tablero de $ 2009$ x $ 2009$ con uno de $ n$ colores (no es necesario utilizar todos los colores). Un color se denomina conexo si existe solo una casilla de ese color o si cualesquiera dos casillas del mismo color pueden alcanzarse una a la otra mediante una secuencia de movimientos de una reina de ajedrez sin paradas intermedias en casillas que tengan otro color (una reina de ajedrez se mueve horizontal, vertical o diagonalmente). Encuentre el máximo $ n$ tal que, para toda coloración del tablero, al menos un color presente en el tablero sea conexo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 4:34 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sean $x_1, x_2,\cdots, x_n$ $n$ enteros. Sea $n = p + q$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Para $i = 1, 2, \cdots, n$, defina \[S_i = x_i + x_{i+1} +\cdots + x_{i+p-1} \text{ y } T_i = x_{i+p} + x_{i+p+1} +\cdots + x_{i+n-1}\] (se asume que $x_{i+n }= x_i$ para todo $i$). A continuación, sea $m(a, b)$ el número de índices $i$ para los cuales $S_i$ deja el resto $a$ y $T_i$ deja el resto $b$ al dividir por $3$, donde $a, b \in \{0, 1, 2\}$. Demuestre que $m(1, 2)$ y $m(2, 1)$ dejan el mismo resto al ser divididos por $3.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 2:17 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En el interior de un cuadrado $ABCD$ construimos los triángulos equiláteros $ABK, BCL, CDM, DAN.$ Demuestre que los puntos medios de los cuatro segmentos $KL, LM, MN, NK$ y los puntos medios de los ocho segmentos $AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN$ son los 12 vértices de un dodecágono regular. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 2:53 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $n$ un entero positivo. ¿Cuántas soluciones enteras $(i, j, k, l) , \ 1 \leq i, j, k, l \leq n$ tiene el siguiente sistema de desigualdades: \[1 \leq -j + k + l \leq n\] \[1 \leq i - k + l \leq n\] \[1 \leq i - j + l \leq n\] \[1 \leq i + j - k \leq n \ ?\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 2:17 p. m. • 7 Y Y por Adventure10, sohere, HWenslawski, megarnie, Mango247, OronSH, cubres En una sucesión finita de números reales, la suma de cualesquiera siete términos sucesivos es negativa y la suma de cualesquiera once términos sucesivos es positiva. Determine el número máximo de términos en la sucesión. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Photaesthesia 147 publicaciones Photaesthesia #1 h 28 de nov. de 2023, 12:07 a. m. • 1 Y Y por David-Vieta Sea $p \geqslant 5$ un número primo y $S = \left\{ 1, 2, \ldots, p \right\}$. Defina $r(x,y)$ de la siguiente manera: \[ r(x,y) = \begin{cases} y - x & y \geqslant x \\ y - x + p & y < x \end{cases}.\] Para un subconjunto propio no vacío $A$ de $S$, sea $$f(A) = \sum_{x \in A} \sum_{y \in A} \left( r(x,y) \right)^2.$$ Un subconjunto bueno de $S$ es un subconjunto propio no vacío $A$ que satisface que para todo subconjunto $B \subseteq S$ del mismo tamaño que $A$, $f(B) \geqslant f(A)$. Encuentre el entero más grande $L$ tal que existen subconjuntos buenos distintos $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \ldots \subseteq A_L$. Propuesto por Bin Wang Esta publicación ha sido editada 7 veces. Última edición por Photaesthesia, 13 de julio de 2024, 3:24 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. LoloChen 489 publicaciones LoloChen #1 h 29 de nov. de 2023, 12:06 a. m. • 3 Y Y por GeoKing, Rounak_iitr, axsolers_24 En un $\triangle {ABC}$ acutángulo, ${K}$ está en la extensión del segmento $BC$ . $P, Q$ son dos puntos tales que $KP \parallel AB, BK=BP$ y $KQ\parallel AC, CK=CQ$ . El circuncírculo del $\triangle KPQ$ interseca a $AK$ nuevamente en ${T}$ . Demuestre que: (1) $\angle BTC+\angle APB=\angle CQA$ . (2) $AP \cdot BT \cdot CQ=AQ \cdot CT \cdot BP$ . Propuesto por Yijie He y Yijuan Yao Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por LoloChen, 13 de junio de 2024, 8:03 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Photaesthesia 147 publicaciones Photaesthesia #1 h 29 de nov. de 2023, 12:04 a. m. Y por Sean $a_1, a_2, \ldots, a_{2023}$ números reales no negativos tales que $a_1 + a_2 + \ldots + a_{2023} = 100$. Sea $A = \left \{ (i,j) \mid 1 \leqslant i \leqslant j \leqslant 2023, \, a_ia_j \geqslant 1 \right\}$. Demuestre que $|A| \leqslant 5050$ y determine cuándo se cumple la igualdad. Propuesto por Yunhao Fu Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por Photaesthesia, 14 de ene. de 2024, 11:46 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Photaesthesia 147 publicaciones Photaesthesia #1 h 28 de nov. de 2023, 12:25 a. m. • 1 Y Y por AlexCenteno2007 Encuentre el $\lambda \in \mathbb{R}$ más pequeño tal que para todo $n \in \mathbb{N}_+$ , existen $x_1, x_2, \ldots, x_n$ que satisfacen $n = x_1 x_2 \ldots x_{2023}$ , donde $x_i$ es un número primo o un entero positivo que no excede $n^\lambda$ para todo $i \in \left\{ 1,2, \ldots, 2023 \right\}$ . Propuesto por Yinghua Ai Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Photaesthesia, 13 de jul. de 2024, 3:24 a. m. Z K Y