La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 5:28 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Una ciudad tiene una red de carreteras que consiste enteramente en calles de sentido único que se utilizan para rutas de autobús. A lo largo de estas rutas, se han establecido paradas de autobús. Si las señales de sentido único permiten viajar desde la parada de autobús $X$ hasta la parada de autobús $Y \neq X$, entonces diremos que $Y$ puede ser alcanzada desde $X$. Usaremos la frase $Y$ viene después de $X$ cuando deseemos expresar que toda parada de autobús desde la cual se puede alcanzar la parada de autobús $X$ es una parada de autobús desde la cual se puede alcanzar la parada de autobús $Y$, y toda parada de autobús que puede ser alcanzada desde $Y$ también puede ser alcanzada desde $X$. Un visitante de esta ciudad descubre que si $X$ e $Y$ son dos paradas de autobús diferentes cualesquiera, entonces las dos oraciones "$Y$ puede ser alcanzada desde $X$" y "$Y$ viene después de $X$" tienen exactamente el mismo significado en esta ciudad. Sean $A$ y $B$ dos paradas de autobús. Demuestre que de las siguientes dos afirmaciones, exactamente una es verdadera: (i) $B$ puede ser alcanzada desde $A$; (ii) $A$ puede ser alcanzada desde $B.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 3:13 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $E$ un conjunto de $n$ puntos en el plano $(n \geq 3)$ cuyas coordenadas son enteros, tal que cualesquiera tres puntos de $E$ son vértices de un triángulo no degenerado cuyo baricentro no tiene ambas coordenadas enteras. Determine el $n$ máximo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 2:17 p. m. • 7 Y Y por Adventure10, sohere, HWenslawski, megarnie, Mango247, OronSH, cubres En una sucesión finita de números reales, la suma de cualesquiera siete términos sucesivos es negativa y la suma de cualesquiera once términos sucesivos es positiva. Determine el número máximo de términos en la sucesión. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 2:53 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $n$ un entero positivo. ¿Cuántas soluciones enteras $(i, j, k, l) , \ 1 \leq i, j, k, l \leq n$ tiene el siguiente sistema de desigualdades: \[1 \leq -j + k + l \leq n\] \[1 \leq i - k + l \leq n\] \[1 \leq i - j + l \leq n\] \[1 \leq i + j - k \leq n \ ?\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mavropnevma 15142 publicaciones mavropnevma #1 h 13 de julio de 2014, 10:29 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario más. Cuatro números consecutivos de tres dígitos se dividen respectivamente por cuatro números consecutivos de dos dígitos. ¿Cuál es el número mínimo de restos diferentes que se pueden obtener? (A. Golovanov) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Aiscrim 409 publicaciones Aiscrim #1 h 12 de julio de 2014, 3:52 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Los puntos $K$ y $L$ en el lado $BC$ de un triángulo $\triangle{ABC}$ son tales que $\widehat{BAK}=\widehat{CAL}=90^\circ$. Demuestre que el punto medio de la altura trazada desde $A$, el punto medio de $KL$ y el circuncentro del $\triangle{ABC}$ son colineales. (A. Akopyan, S. Boev, P. Kozhevnikov) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. LHE96 57 publicaciones LHE96 #1 h 19 de dic. de 2025, 9:52 a. m. • 1 Y Y por GustavoPudim Para cada entero positivo $n$, definimos un panal de tamaño $n$ como una cuadrícula hexagonal simétrica formada por hexágonos unitarios, donde el hexágono central ha sido eliminado y los hexágonos restantes forman un hexágono regular más grande cuyo lado está formado por $n+1$ hexágonos unitarios (vea las figuras a continuación). [asy] import geometry; size(8cm); defaultpen(fontsize(8pt)); path hexagon=dir(30)--dir(90)--dir(150)--dir(210)--dir(270)--dir(330)--cycle; void newcomb(int s, pair offset_, string desc){ s+=1; fill(shift(offset_)*hexagon); pair tmp=(-sqrt(3)/2,-1.5); path tmp_[]={hexagon}; for(int i=1;i<s;i+=1){ if(i>1) tmp_=tmp_^^shift(tmp*(i-1))*hexagon; for(int j=0;j<6;j+=1){ draw(shift(dir(60*j)*sqrt(3)*i+(offset_))*tmp_); tmp_=rotate(60)*tmp_; } } label(desc,(0,-1-1.5*s)+offset_); label("Honeycomb",(0,-2-1.5*s)+offset_); } newcomb(1,(0,0),"Size 1"); newcomb(2,(8.5,1.5),"Size 2"); newcomb(3,(20.5,3),"Size 3"); [/asy] Barry la abeja descubrió que su panal tiene un parásito, el cual es un insecto que ocupa exactamente $3$ hexágonos unitarios en fila (la Figura $1$ muestra las tres posiciones posibles del parásito). Dado que el parásito es capaz de camuflarse bien en el panal, Barry decide colocar algunas trampas para capturarlo. Cada trampa ocupa exactamente un hexágono unitario, y esta trampa captura al parásito cuando uno de los tres hexágonos unitarios que ocupa se encuentra en dicha trampa. [asy] import geometry; size(8cm); //defaultpen(fontsize(8pt)); //1 path hexagon=dir(30)--dir(90)--dir(150)--dir(210)--dir(270)--dir(330)--cycle; pair tmp=(-sqrt(3)/2,-1.5); path tmp_[]=hexagon^^shift(2*tmp)*hexagon^^shift(tmp)*hexagon; draw(rotate(120)*tmp_); draw(shift(8,1.5)*tmp_); draw(shift(10.5,1.5)*rotate(60)*tmp_); label("\textbf{Figure 1}",(6.5,-5)); //2 path trap=(-0.1,0.6)--(0.1,0.6)--(0.1,-0.6)--(-0.1,-0.6)--cycle; path trapfull[]=trap^^rotate(60)*trap^^rotate(120)*trap; void newcomb(int s, pair offset_, string desc){ s+=1; fill(shift(offset_)*hexagon); pair tmp=(-sqrt(3)/2,-1.5); path tmp_[]={hexagon}; for(int i=1;i<s;i+=1){ if(i>1) tmp_=tmp_^^shift(tmp*(i-1))*hexagon; for(int j=0;j<6;j+=1){ draw(shift(dir(60*j)*sqrt(3)*i+(offset_))*tmp_); tmp_=rotate(60)*tmp_; } } label(desc,(0,-2-1.5*s)+offset_); for(int i=0;i<3;i+=1){ fill(shift(dir(120*i)*(sqrt(3))+offset_)*trapfull); } } newcomb(2,(24,1.5),"\textbf{Figure 2}"); [/asy] $(a)$ Suponga que el panal de Barry es de tamaño $2$ y que ha colocado las $3$ trampas de acuerdo con la Figura $2$ anterior. Si a Barry le quedan $3$ trampas más, ¿dónde debería colocarlas para asegurar que el parásito sea capturado, independientemente de dónde se encuentre? Enumere todas las posibilidades. $(b)$ Suponga que el panal de Barry es de tamaño $3$. ¿Cuál es el número mínimo de trampas que necesita colocar para asegurar que el parásito sea capturado, independientemente de dónde se encuentre? Justifique su respuesta. $(c)$ Dado un entero positivo $n$, suponga ahora que el panal de Barry es de tamaño $n$. Determine, como función de $n$, el número mínimo de trampas que necesita colocar para asegurar que el parásito sea capturado, independientemente de dónde se encuentre. Justifique su respuesta. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por LHE96, 20 de dic. de 2025, 3:03 p. m. Razón: corrección de asymptote Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Aiscrim 409 publicaciones Aiscrim #1 h 12 de julio de 2014, 3:55 a. m. • 3 Y Y por Amir Hossein, Adventure10, Mango247 Los números positivos $a,\ b,\ c$ satisfacen $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$. Demuestre la desigualdad \[\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}. \] (N. Alexandrov) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ciobi_ 43 publicaciones Ciobi_ #1 h 12 de enero de 2026, 4:34 a. m. • 1 Y Y por cubres Encuentre todos los polinomios reales $P$ para los cuales existen polinomios no constantes, distintos entre sí, con coeficientes reales $f_1,f_2,f_3,f_4$, cuyos coeficientes principales son todos positivos, para los cuales: \[ f_1(x)\cdot f_2(x) = f_3(x)\cdot f_4(x) \quad \text{y} \quad P(f_1(x))\cdot P(f_2(x))=P(f_3(x))\cdot P(f_4(x))\] Z K Y

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