439 Llamemos a un polinomio admisible si todos sus coeficientes son $0, 1, 2$ o $3$. Para un $n$ dado, encuentre el número de todos los polinomios admisibles $P$ tales que $P(2) = n$.

383 El profesor escribió en una pizarra: $$x^2 + 10x + 20$$ Luego, todos los alumnos de la clase pasaron por turnos y aumentaron o disminuyeron en $1$ el término independiente o el coeficiente de $x$, pero no ambos. Finalmente, obtuvieron: $$x^2 + 20x + 10$$ ¿Es cierto que en algún momento durante el proceso estuvo escrito un polinomio cuadrático con raíces enteras?

485 La sucesión de enteros $a_n$ está dada por $a_0 = 0, a_n = p(a_{n-1})$, donde $p(x)$ es un polinomio cuyos coeficientes son todos enteros positivos. Demuestre que para cualesquiera dos enteros positivos $m, k$ con máximo común divisor $d$, el máximo común divisor de $a_m$ y $a_k$ es $a_d$.

526 Dado un punto $X$ y $n$ vectores $\overrightarrow{x_i}$ con suma cero en el plano. Para cada permutación de los vectores formamos un conjunto de $n$ puntos, comenzando en $X$ y sumando los vectores en orden. Por ejemplo, con el orden original obtenemos $X_1$ tal que $XX_1 = \overrightarrow{x_1}$, $X_2$ tal que $X_1X_2 = \overrightarrow{x_2}$ y así sucesivamente. Demuestre que para alguna permutación podemos encontrar dos puntos $Y, Z$ con ángulo $\angle YXZ = 60^o$, de tal manera que todos los puntos se encuentren dentro o sobre el triángulo $XYZ$.

409 Si hay cuatro números $(a,b,c,d)$ en cuatro registros de la máquina calculadora, estos se transforman en $(a-b,b-c,c-d,d-a)$ cada vez que se presiona el botón. Demuestre que si no todos los números iniciales son iguales, la máquina obtendrá al menos un número mayor que $1985$ después de cierto número de operaciones.

388 Los puntos $A, B, C$ y $D$ (de izquierda a derecha) pertenecen a la recta. Demuestre que todo punto $E$, que no pertenece a la recta, satisface: $$|AE| + |ED| + | |AB| - |CD| | > |BE| + |CE|$$

428 Se traza una recta a través del vértice $A$ del triángulo $ABC$ con $|AB|\ne|AC|$. Demuestre que la recta no puede contener más de un punto $M$ tal que $M$ no sea un vértice del triángulo y $\angle ABM = \angle ACM$. ¿Qué rectas no contienen ningún punto $M$ de este tipo?

430 La notación decimal de tres números naturales consiste en dígitos iguales: $n$ dígitos $x$ para $a$, $n$ dígitos $y$ para $b$ y $2n$ dígitos $z$ para $c$. Para todo $n > 1$, encuentre todas las ternas posibles de dígitos $x, y, z$ tales que $a^2 + b = c$.

421 El rey de cierto estado desea construir $n$ ciudades y $n-1$ carreteras, conectándolas para brindar la posibilidad de trasladarse de cualquier ciudad a cualquier otra. (Cada carretera conecta dos ciudades, las carreteras no se cruzan y no pasan a través de otra ciudad). Él también desea que las distancias más cortas entre las ciudades, a lo largo de las carreteras, sean $1, 2, 3, \dots, n(n-1)/2$ kilómetros. ¿Es posible para a) $n=6$ b) $n=1986$?

456 Cada noche, el tío Chernomor (véanse los cuentos de Pushkin) designa a $9$ o $10$ de sus 33 "caballeros" para la "guardia nocturna". ¿Cuándo puede ocurrir, por primera vez, que cada caballero haya estado de servicio el mismo número de veces?