405 La sucesión $a_1, a_2, ... , a_k, ...$ se construye de acuerdo con las reglas: $$a_{2n} = a_n,a_{4n+1} = 1,a_{4n+3} = 0$$ Demuestre que es una sucesión no periódica.

389 Dada una sucesión $\{x_n\}$, $$x_1 = x_2 = 1, x_{n+2} = x^2_{n+1} - \frac{x_n}{2}$$ Demuestre que la sucesión tiene límite y encuéntrelo.

496 Un triángulo con perímetro $1$ tiene longitudes de lado $a, b, c$. Demuestre que $a^2 + b^2 + c^2 + 4abc <\frac 12$.

Dados dos puntos en el interior de un dodecágono convexo (doce lados) situados a $10$ cm de distancia el uno del otro. Demuestre que la diferencia entre la suma de las distancias, desde cada punto a todos los vértices, es menor que $1$ m para dichos puntos.

526 Dado un punto $X$ y $n$ vectores $\overrightarrow{x_i}$ con suma cero en el plano. Para cada permutación de los vectores formamos un conjunto de $n$ puntos, comenzando en $X$ y sumando los vectores en orden. Por ejemplo, con el orden original obtenemos $X_1$ tal que $XX_1 = \overrightarrow{x_1}$, $X_2$ tal que $X_1X_2 = \overrightarrow{x_2}$ y así sucesivamente. Demuestre que para alguna permutación podemos encontrar dos puntos $Y, Z$ con ángulo $\angle YXZ = 60^o$, de tal manera que todos los puntos se encuentren dentro o sobre el triángulo $XYZ$.

484 ¿Cuál es el $n$ más pequeño para el cual existe una solución a $$\begin{cases} \sin x_1 + \sin x_2 + ... + \sin x_n = 0 \\ \sin x_1 + 2 \sin x_2 + ... + n \sin x_n = 100 \end{cases}$$ ?

519 ¿Se pueden colorear los cuadrados de un tablero de ajedrez de $1990 \times 1990$ de negro o blanco de tal manera que la mitad de los cuadrados en cada fila y columna sean negros y las celdas simétricas con respecto al centro sean de color opuesto?

444 Demuestre que $1^{1987} + 2^{1987} + ... + n^{1987}$ es divisible por $n+2$.

521 $ABCD$ es un cuadrilátero convexo. $X$ es un punto en el lado $AB$. $AC$ y $DX$ se cortan en $Y$. Demuestre que los circuncírculos de $ABC$, $CDY$ y $BDX$ tienen un punto en común.

386 Llamemos "absolutamente primo" a un número primo si, al trasponer sus dígitos en un orden arbitrario, obtenemos nuevamente un número primo. Demuestre que su notación no puede contener más de tres dígitos diferentes.