526 Dado un punto $X$ y $n$ vectores $\overrightarrow{x_i}$ con suma cero en el plano. Para cada permutación de los vectores formamos un conjunto de $n$ puntos, comenzando en $X$ y sumando los vectores en orden. Por ejemplo, con el orden original obtenemos $X_1$ tal que $XX_1 = \overrightarrow{x_1}$, $X_2$ tal que $X_1X_2 = \overrightarrow{x_2}$ y así sucesivamente. Demuestre que para alguna permutación podemos encontrar dos puntos $Y, Z$ con ángulo $\angle YXZ = 60^o$, de tal manera que todos los puntos se encuentren dentro o sobre el triángulo $XYZ$.

474 En el triángulo $ABC$, $\angle C$ es obtuso y $D$ es un punto fijo en el lado $BC$, distinto de $B$ y $C$. Para cualquier punto $M$ en el lado $BC$, distinto de $D$, el rayo $AM$ corta al circuncírculo $S$ de $ABC$ en $N$. El círculo que pasa por $M, D$ y $N$ corta a $S$ nuevamente en $P$, distinto de $N$. Encuentre la ubicación del punto $M$ que minimiza $MP$.

481 Una línea poligonal conecta dos vértices opuestos de un cubo de lado $2$. Cada segmento de la línea tiene longitud $3$ y cada vértice se encuentra en las caras (o aristas) del cubo. ¿Cuál es el número mínimo de segmentos que puede tener la línea?

427 Demuestre que la siguiente desigualdad se cumple para todo $\{a_i\}$ positivo: $$\frac{1}{a_1} + \frac{2}{a_1+a_2} + ... +\frac{ n}{a_1+...+a_n} < 4\left(\frac{1}{a_1} + ... + \frac{1}{a_n}\right)$$

514 ¿Existe un rectángulo que pueda ser disecado en $15$ polígonos congruentes que no sean rectángulos? ¿Puede un cuadrado ser disecado en $15$ polígonos congruentes que no sean rectángulos?

435 Todas las casillas de una tabla cuadrada $n\times n$ ($n>2$) se llenan con $+1$ o $-1$ de acuerdo con las siguientes reglas: Al principio, se colocan $-1$ en todas las casillas del borde. El número colocado en la casilla correspondiente (la casilla se elige arbitrariamente) es igual al producto de los números más cercanos, desde los diferentes lados, en su fila o en su columna. a) ¿Cuál es el número mínimo? b) ¿Cuál es el número máximo posible de $+1$ en la tabla obtenida?

458 El $n$-ágono convexo ($n\ge 5$) se corta a lo largo de todas sus diagonales. Demuestre que existe al menos un par de partes con áreas diferentes.

382 Sean $x, y, z$ números reales positivos que satisfacen el sistema: $\begin{cases} x^2 + xy + y^2/3= 25 \\ y^2/ 3 + z^2 = 9 \\ z^2 + zx + x^2 = 16 \end{cases}$ Encuentre el valor de la expresión $xy + 2yz + 3zx$.

383 El profesor escribió en una pizarra: $$x^2 + 10x + 20$$ Luego, todos los alumnos de la clase pasaron por turnos y aumentaron o disminuyeron en $1$ el término independiente o el coeficiente de $x$, pero no ambos. Finalmente, obtuvieron: $$x^2 + 20x + 10$$ ¿Es cierto que en algún momento durante el proceso estuvo escrito un polinomio cuadrático con raíces enteras?

517 ¿Cuál es el mayor valor posible de $|...| |a_1 - a_2| - a_3| - ... - a_{1990}|$, donde $a_1, a_2, ... , a_{1990}$ es una permutación de $1, 2, 3, ... , 1990$?