La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ankoganit 3071 publicaciones Ankoganit #1 h 30 de dic. de 2016, 12:38 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se nos da un tablero de $n \times n$. Las filas están etiquetadas con números del $1$ al $n$ hacia abajo y las columnas están etiquetadas con números del $1$ al $n$ de izquierda a derecha. En cada casilla escribimos el número $x^2 + y^2$ donde $(x, y)$ son sus coordenadas. Se nos da una figura y podemos colocarla inicialmente en cualquier casilla. En cada paso podemos mover la figura de una casilla a otra si la otra casilla no ha sido visitada previamente y si se cumple al menos una de las siguientes condiciones: los números en esas $2$ casillas dan el mismo resto al dividirse por $n$, esas casillas son simétricas respecto al centro del tablero. ¿Se pueden visitar todas las casillas en los casos: $n = 4$, $n = 5$? Josip Pupić Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ankoganit 3071 publicaciones Ankoganit #1 h 30 de dic. de 2016, 4:48 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $d(n)$ el número de divisores positivos de $n$. Para un entero positivo $n$, definimos $f(n)$ como $$f(n) = d\left(k_1\right) + d\left(k_2\right)+ \cdots + d\left(k_m\right),$$ donde $1 = k_1 < k_2 < \cdots < k_m = n$ son todos los divisores del número $n$. Llamamos a un entero $n > 1$ casi perfecto si $f(n) = n$. Encuentre todos los números casi perfectos. Paulius Ašvydis Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Ankoganit, 30 de dic. de 2016, 5:19 a. m. Razón: Error tipográfico corregido; gracias a spacewalker y a otro usuario por mensaje privado Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ankoganit 3071 publicaciones Ankoganit #1 h 30 de dic. de 2016, 5:18 a. m. • 3 Y Y por den_thewhitelion, Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $B', A'$ puntos en las mediatrices de $AC, BC$ respectivamente tales que $B'A \perp AB$ y $A'B \perp AB$. Sea $P$ un punto en el segmento $AB$ y $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Sean $D, E$ puntos en $BC, AC$ respectivamente tales que $DP \perp BO$ y $EP \perp AO$. Sea $O'$ el circuncentro del triángulo $CDE$. Demuestre que $B', A'$ y $O'$ son colineales. Steve Dinh Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ZeusDM 110 publicaciones ZeusDM #1 h 16 de nov. de 2019, 12:44 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Un número natural es un factorion si es la suma de los factoriales de cada uno de sus dígitos decimales. Por ejemplo, $145$ es un factorion porque $145 = 1! + 4! + 5!$. Encuentre todos los números de 3 dígitos que son factoriones. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TheBarioBario 132 publicaciones TheBarioBario #1 h 2 de abril de 2022, 3:57 AM • 3 Y Y por ImSh95, Eka01, Rounak_iitr Se da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con circuncentro $O$. El punto $P$ es la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AD$ y $BC$, respectivamente. Suponga que $\omega_1$, $\omega_2$ y $\omega_3$ son los circuncírculos de los triángulos $ADP$, $BCP$ y $OMN$, respectivamente. El punto de intersección de $\omega_1$ y $\omega_3$, que no está en el arco $APD$ de $\omega_1$, es $E$, y el punto de intersección de $\omega_2$ y $\omega_3$, que no está en el arco $BPC$ de $\omega_2$, es $F$. Demuestre que $OF=OE$. Propuesto por Seyed Amirparsa Hosseini Nayeri Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por TheBarioBario, 7 de mayo de 2022, 10:58 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Scilyse 543 publicaciones Scilyse #1 h 28 de enero de 2025, 1:13 a. m. Y por Hay $8$ tarjetas en las que están escritos los números $1$ , $2$ , $\dots$ , $8$ respectivamente. Alice y Bob juegan el siguiente juego: en cada turno, Alice le da dos tarjetas a Bob, quien debe quedarse con una tarjeta y descartar la otra. El juego continúa durante cuatro turnos en total; en los dos primeros turnos, Bob no puede quedarse con ambas tarjetas de los números mayores, y en los dos últimos turnos, Bob tampoco puede quedarse con ambas tarjetas de los números mayores. Sea $S$ la suma de los números escritos en las tarjetas que Bob conserva. Encuentre el mayor entero positivo $N$ para el cual Bob puede garantizar que $S$ sea al menos $N$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Iveela 177 publicaciones Iveela #1 h 5 de julio de 2025, 12:06 a. m. • 1 Y Y por farhad.fritl Sea $D$ un punto variable en el interior del lado $BC$ del triángulo $ABC$. Los circuncírculos de los triángulos $ABD$ y $ACD$ intersecan a los lados $AC$ y $AB$ en $E \neq A$ y $F \neq A$, respectivamente. Los circuncírculos de los triángulos $BDF$ y $CDE$ se intersecan en $X \neq D$ y los circuncírculos de los triángulos $AEF$ y $ABC$ se intersecan en $Y \neq A$. Demuestre que la recta $XY$ pasa por un punto fijo, independiente de la elección de $D$. Z K Y

Sea $n$ un entero positivo. Si $x_1, x_2, \ldots, x_n \geq 0$, $x_1+x_2+\ldots+x_n=1$ y, asumiendo que $x_{n+1}=x_1$, encuentre el valor máximo de $$\sum_{k=1}^n \frac{1+x_k^2+x_k^4}{1+x_{k+1}+x_{k+1}^2+x_{k+1}^3+x_{k+1}^4}.$$

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ZeusDM 110 publicaciones ZeusDM #1 h 16 de nov. de 2019, 12:51 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo equilátero de lado 3. Un círculo $C_1$ es tangente a $AB$ y $AC$. Un círculo $C_2$, con un radio menor que el radio de $C_1$, es tangente a $AB$ y $AC$, además de ser tangente externamente a $C_1$. Sucesivamente, para $n$ entero positivo, el círculo $C_{n+1}$, con un radio menor que el radio de $C_n$, es tangente a $AB$ y $AC$ y es tangente externamente a $C_n$. Determine los posibles valores para el radio de $C_1$ tales que 4 círculos de esta sucesión, pero no 5, estén contenidos en el interior del triángulo $ABC$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ZeusDM 110 publicaciones ZeusDM #1 h 16 de nov. de 2019, 12:55 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $n$ un entero positivo. Una función $f : \{1, 2, \dots, 2n\} \to \{1, 2, 3, 4, 5\}$ es buena si $f(j+2)$ y $f(j)$ tienen la misma paridad para todo $j = 1, 2, \dots, 2n-2$. Demuestre que el número de funciones buenas es un cuadrado perfecto. Z K Y