La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 28 de sep. de 2004, 7:57 a. m. • 8 Y Y por Davi-8191, ValidName, Adventure10, megarnie, Mango247 y otros 3 usuarios Sea $n\geq3$ un entero positivo. Sean $C_1,C_2,C_3,\ldots,C_n$ círculos unitarios en el plano, con centros $O_1,O_2,O_3,\ldots,O_n$ respectivamente. Si ninguna recta corta a más de dos de los círculos, demuestre que \[ \sum\limits^{}_{1\leq i<j\leq n}{1\over O_iO_j}\leq{(n-1)\pi\over 4}. \] Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por orl, 27 de sep. de 2005, 11:58 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Shu 316 publicaciones Shu #1 h 27 de julio de 2011, 8:55 PM • 1 Y Y por Adventure10 Una sucesión $a_1,a_2,\ldots$ de enteros positivos satisface las siguientes propiedades: $a_1 = 1$ $a_{3n+1} = 2a_n + 1$ $a_{n+1}\ge a_n$ $a_{2001} = 200$ Encuentre el valor de $a_{1000}$ . Nota . En el enunciado original del problema, había una condición adicional: cada entero positivo aparece al menos una vez en la sucesión. Sin embargo, con esta condición adicional, no hay solución, es decir, no existe tal sucesión. (Intente demostrarlo). El problema tal como está escrito arriba sí tiene solución. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NO_SQUARES 1164 publicaciones NO_SQUARES #1 h 9 de julio de 2024, 2:41 PM Y por Tres atletas corrieron a diferentes velocidades constantes a lo largo de una pista de longitud $1$. Comenzaron a moverse al mismo tiempo en un extremo de la pista. Al llegar a uno de los extremos de la pista, el atleta inmediatamente daba media vuelta y continuaba corriendo en la dirección opuesta. Después de un tiempo, los tres atletas se encontraron en el punto de partida y terminaron el entrenamiento. ¿Cuál es el máximo $S$ para el cual podemos afirmar con certeza que en algún momento la suma de las distancias por pares entre los atletas fue al menos $S$? Propuesto por A. Golovanov, I. Rubanov Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. LLL2019 844 publicaciones LLL2019 #1 h 28 de mar. de 2024, 6:09 p. m. • 1 Y Y por mxsail Sea $N=10^{2024}$ . $S$ es un cuadrado en el plano cartesiano con longitud de lado $N$ y lados paralelos a los ejes coordenados. Dentro hay $N$ puntos $P_1$ , $P_2$ , $\dots$ , $P_N$ , todos los cuales tienen coordenadas $x$ diferentes, y el valor absoluto de la pendiente de cualquier línea conectada entre estos puntos es como máximo $1$ . Demuestre que existe una línea $l$ tal que al menos $2024$ de estos puntos están a una distancia de como máximo $1$ de $l$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por LLL2019, 28 de mar. de 2024, 6:09 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. nAalniaOMliO 512 publicaciones nAalniaOMliO #1 h 1 de agosto de 2024, 12:09 a. m. Y por Dado un poliedro $P$. Mikita afirma que puede escribir un número entero en cada cara de $P$ tal que no todos los números escritos sean ceros, y para cada vértice $V$ de $P$ la suma de los números en las caras que contienen a $V$ sea igual a 0. Matvei afirma que puede escribir un número entero en cada vértice de $P$ tal que no todos los números escritos sean ceros, y para cada cara $F$ de $P$ la suma de los números en los vértices que pertenecen a $F$ sea igual a 0. Demuestre que si el número de aristas del poliedro $P$ es impar, entonces al menos uno de los chicos tiene razón. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. nAalniaOMliO 512 publicaciones nAalniaOMliO #1 h 13 de sep. de 2024, 12:05 p. m. Y por Encuentre todas las funciones estrictamente monótonas $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que algún polinomio $P(x, y)$ satisface la igualdad $$f(x + y) = P(f(x), f(y))$$ para todos los números reales $x$ e $y$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. nAalniaOMliO 512 publicaciones nAalniaOMliO #1 h 13 de sep. de 2024, 12:05 p. m. Y por En un torneo de fútbol, $2n$ equipos juegan en una ronda. Cada ronda consiste en $n$ parejas de equipos que aún no han jugado entre sí. El calendario de cada ronda se determina antes de que se lleve a cabo la ronda. Encuentre el entero positivo mínimo $k$ tal que la siguiente situación sea posible: después de $k$ rondas es imposible programar la siguiente ronda. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 15 de enero de 2026, 4:35 PM Y por Dado el polinomio $P(x)=x^{1994}+a_{1993}x^{1993}+\dots+a_1x+1$, dos estudiantes juegan. El estudiante 1 reemplaza uno de los $a_i$ por un número diferente. Luego, el estudiante $2$ reemplaza uno de los $a_i$ restantes por un número diferente, y así sucesivamente hasta que todos los $a_i$ hayan sido utilizados. Si el polinomio resultante no tiene raíces reales, el estudiante 2 gana; de lo contrario, el estudiante 1 gana. ¿Existe alguna posibilidad de que el estudiante 2 siempre gane? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 15 de enero de 2026, 4:34 PM Y por Encuentre una función continua periódica $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $\forall x, y\in\mathbb R:$ $$f^2(x)-f^2(y)=f(x+y)f(x-y)$$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 15 de enero de 2026, 4:34 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 14 de enero de 2026, 2:57 PM Y por Demuestre que el círculo de Euler del triángulo formado por la intersección de las líneas trazadas paralelas a los lados $BC$ , $AC$ y $AB$ , que pasan por los puntos medios de los segmentos $AM$ , $BM$ y $CM$ del triángulo $ABC$ con baricentro $M$ y $\cos A\cdot\cos B\cdot\cos C=-\dfrac12$ , es ortogonal al circuncírculo del triángulo. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 15 de enero de 2026, 5:01 PM Z K Y