La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. codyj 723 publicaciones codyj #1 h 11 de julio de 2015, 1:29 AM • 25 Y Y por MOM-Admin, applepi2000, Chandrachur, JustN, socrates, WJ.JamshiD, rkm0959, don2001, anantmudgal09, Davi-8191, tenplusten, adityaguharoy, Mathuzb, Tawan, itslumi, centslordm, HWenslawski, megarnie, Mathlover_1, ImSh95, tiendung2006, Adventure10, Mango247, Deadline, WiseTigerJ1 Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ que satisfacen la ecuación \[f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\] para todos los números reales $x$ e $y$. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania Esta publicación ha sido editada 5 veces. Última edición por djmathman, 14 de junio de 2018, 11:22 AM Razón: autor en cursiva Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. codyj 723 publicaciones codyj #1 h 11 de julio de 2015, 1:30 a. m. • 8 Y Y por Davi-8191, Wizard_32, AlastorMoody, megarnie, Adventure10, Mango247, ItsBesi, Rounak_iitr El triángulo $ABC$ tiene un circuncírculo $\Omega$ y un circuncentro $O$. Un círculo $\Gamma$ con centro en $A$ corta al segmento $BC$ en los puntos $D$ y $E$, de tal manera que $B$, $D$, $E$ y $C$ son todos distintos y yacen sobre la recta $BC$ en ese orden. Sean $F$ y $G$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y $\Omega$, tales que $A$, $F$, $B$, $C$ y $G$ yacen sobre $\Omega$ en ese orden. Sea $K$ el segundo punto de intersección del circuncírculo del triángulo $BDF$ y el segmento $AB$. Sea $L$ el segundo punto de intersección del circuncírculo del triángulo $CGE$ y el segmento $CA$. Suponga que las rectas $FK$ y $GL$ son distintas y se cortan en el punto $X$. Demuestre que $X$ yace sobre la recta $AO$. Propuesto por Grecia Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por djmathman, 14 de junio de 2018, 11:21 a. m. Razón: autores en cursiva Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. samithayohan 41 publicaciones samithayohan #1 h 10 de julio de 2015, 2:53 AM • 20 Y Y por sydneymark, Davi-8191, Wizard_32, microsoft_office_word, Flow25, itslumi, somlogan, Abidabi, megarnie, HWenslawski, son7, tiendung2006, Toinfinity, Adventure10, Mango247, Rounak_iitr, Funcshun840, Mathslover2k25, SuperBarsh, PreciseScorpion58 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB > AC$. Sea $\Gamma$ su circuncírculo, $H$ su ortocentro y $F$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Sea $Q$ el punto en $\Gamma$ tal que $\angle HQA = 90^{\circ}$ y sea $K$ el punto en $\Gamma$ tal que $\angle HKQ = 90^{\circ}$. Suponga que los puntos $A$, $B$, $C$, $K$ y $Q$ son todos distintos y yacen sobre $\Gamma$ en este orden. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $KQH$ y $FKM$ son tangentes entre sí. Propuesto por Ucrania Esta publicación ha sido editada 7 veces. Última edición por djmathman, 13 de febrero de 2020, 10:21 PM Razón: ¡error tipográfico después de 4.5 años! Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. termas 129 publicaciones termas #1 h 10 de julio de 2015, 2:26 AM • 14 Y Y por A_Gappus, qwert159, dantx5, WJ.JamshiD, RohanC, Davi-8191, Tawan, Aspirant-to-IMO, megarnie, NO_SQUARES, Adventure10, Mango247, cubres, Mo.11ss Encuentre todos los enteros positivos $(a,b,c)$ tales que $$ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b$$ sean todos potencias de $2$. Propuesto por Serbia Esta publicación ha sido editada 5 veces. Última edición por v_Enhance, 11 de abril de 2020, 8:22 PM Razón: Z positivo K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. randomusername 1062 publicaciones randomusername #1 h 10 de julio de 2015, 3:12 AM • 16 Y Y por quangminhltv99, Davi-8191, jam10307, michael221, tenplusten, Aryan-23, itslumi, Aritra12, centslordm, jhu08, Mahmood.sy, megarnie, son7, Adventure10, Funcshun840, Just1 Decimos que un conjunto finito $\mathcal{S}$ de puntos en el plano es equilibrado si, para cualesquiera dos puntos distintos $A$ y $B$ en $\mathcal{S}$, existe un punto $C$ en $\mathcal{S}$ tal que $AC=BC$. Decimos que $\mathcal{S}$ está libre de centro si para cualesquiera tres puntos distintos $A$, $B$ y $C$ en $\mathcal{S}$, no existe ningún punto $P$ en $\mathcal{S}$ tal que $PA=PB=PC$. (a) Demuestre que para todo entero $n\ge 3$, existe un conjunto equilibrado que consiste en $n$ puntos. (b) Determine todos los enteros $n\ge 3$ para los cuales existe un conjunto equilibrado libre de centro que consiste en $n$ puntos. Propuesto por Países Bajos Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por v_Enhance, 26 de julio de 2015, 9:46 AM Razón: Falta $n$ en la parte (b) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. sqing 46153 publicaciones sqing #1 h 4 de mar. de 2023, 3:39 a. m. • 2 Y Y por sayheykid, bin_sherlo Sean $r,g,b$ enteros no negativos y $\Gamma$ un grafo conexo con $r+g+b+1$ vértices. Sus aristas están coloreadas de rojo, verde y azul. Resulta que $\Gamma$ contiene un árbol generador con exactamente $r$ aristas rojas, un árbol generador con exactamente $g$ aristas verdes y un árbol generador con exactamente $b$ aristas azules. Demuestre que $\Gamma$ contiene un árbol generador con exactamente $r$ aristas rojas, $g$ aristas verdes y $b$ aristas azules. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por sqing, 4 de mar. de 2023, 3:45 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. sqing 46153 publicaciones sqing #1 h 4 de marzo de 2023, 3:33 AM • 4 Y Y por GeoKing, Rounak_iitr, Nessa-Chebyshev, Amir Hossein Sean $P,Q,R,S$ polinomios no constantes con coeficientes reales, tales que $P(Q(x))=R(S(x))$ y el grado de $P$ es múltiplo del grado de $R$. Demuestre que existe un polinomio $T$ con coeficientes reales tal que $$\displaystyle P(x)=R(T(x))$$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. sqing 46153 publicaciones sqing #1 h 4 de marzo de 2023, 3:28 a. m. • 1 Y Y por GeoKing Se da un triángulo acutángulo $ABC$ y sean $H$ y $O$ su ortocentro y circuncentro respectivamente. Sea $K$ el punto medio de $AH$ y $\ell$ una recta que pasa por $O$. Sean $P$ y $Q$ las proyecciones de $B$ y $C$ sobre $\ell$. Demuestre que $$KP+KQ\ge BC$$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Taco12 1757 publicaciones Taco12 #1 h 1 de mar. de 2023, 4:56 p. m. • 6 Y Y por zewsx00, math90, mathmax12, gvole, ETS1331, OronSH Sea $n\geq 2$ un entero y sea $f$ un polinomio de $4n$ variables con coeficientes reales. Suponga que, para cualesquiera $2n$ puntos $(x_1,y_1),\dots,(x_{2n},y_{2n})$ en el plano cartesiano, $f(x_1,y_1,\dots,x_{2n},y_{2n})=0$ si y solo si los puntos forman los vértices de un $2n$-gono regular en algún orden, o son todos iguales. Determine el menor grado posible de $f$. (Note, por ejemplo, que el grado del polinomio $$g(x,y)=4x^3y^4+yx+x-2$$ es $7$ porque $7=3+4$.) Ankan Bhattacharya Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Taco12, 4 de mar. de 2023, 4:48 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Taco12 1757 publicaciones Taco12 #1 h 1 de marzo de 2023, 4:44 PM Y por Sea un entero $n \geq 3$. Sea $\mathcal{S}$ un conjunto de $n$ puntos en el plano, de los cuales no hay tres colineales. Dados puntos distintos $A,B,C$ en $\mathcal{S}$, el triángulo $ABC$ es agradable para $AB$ si $[ABC] \leq [ABX]$ para todo $X$ en $\mathcal{S}$ distinto de $A$ y $B$. (Note que para un segmento $AB$ podría haber varios triángulos agradables). Un triángulo es hermoso si todos sus vértices están en $\mathcal{S}$ y es agradable para al menos dos de sus lados. Demuestre que hay al menos $\frac{1}{2}(n-1)$ triángulos hermosos. Z K Y