La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 7 de abril de 2019, 12:33 PM • 1 Y Y por Adventure10 Puntos Los puntos $A'$ y $B'$ yacen dentro del paralelogramo $ABCD$ y los puntos $C'$ y $D'$ yacen fuera de él, de tal manera que todos los lados del octógono $AA'BB'CC'DD'$ son iguales. Demuestre que $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ son concíclicos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 1:44 p. m. • 5 Y Y por samrocksnature, Adventure10, megarnie, sohere, Mango247 Sea $0<f(1)<f(2)<f(3)<\ldots$ una sucesión con todos sus términos positivos. El $n$-ésimo entero positivo que no pertenece a la sucesión es $f(f(n))+1.$ Encuentre $f(240).$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 2:02 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos impares que no son múltiplos de $5$ y que son menores que $30m$, siendo $m$ un entero positivo arbitrario. ¿Cuál es el entero $k$ más pequeño tal que en cualquier subconjunto de $k$ enteros de $S$ debe haber dos enteros diferentes, uno de los cuales divide al otro? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 2:01 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Consideramos tres semirrectas distintas $Ox, Oy, Oz$ en un plano. Demuestre la existencia y unicidad de tres puntos $A \in Ox, B \in Oy, C \in Oz$ tales que los perímetros de los triángulos $OAB, OBC, OCA$ sean todos iguales a un número dado $2p > 0.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 1:40 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, sohere, Mango247 Sea $f$ una función inyectiva de ${1,2,3,\ldots}$ en sí mismo. Demuestre que para cualquier $n$ tenemos: $\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1}.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 1:58 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Para cada entero $d \geq 1$, sea $M_d$ el conjunto de todos los enteros positivos que no pueden escribirse como una suma de una progresión aritmética con diferencia $d$, que tenga al menos dos términos y consista en enteros positivos. Sea $A = M_1$, $B = M_2 \setminus \{2 \}$, $C = M_3$. Demuestre que cada $c \in C$ puede escribirse de manera única como $c = ab$ con $a \in A, b \in B.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 1:39 p. m. • 4 Y Y por Adventure10, EthanTAoPS, Grumpah, Mango247 Sean $ m$ y $ n$ enteros positivos tales que $ 1 \le m < n$ . En sus representaciones decimales, los últimos tres dígitos de $ 1978^m$ son iguales, respectivamente, a los últimos tres dígitos de $ 1978^n$ . Encuentre $ m$ y $ n$ tales que $ m + n$ tenga su valor mínimo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 1:36 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Se dan en el plano dos triángulos equiláteros orientados de forma idéntica, $ABC$ con centro $S$ y $A'B'C$. También tenemos $A' \neq S$ y $B' \neq S$. Si $M$ es el punto medio de $A'B$ y $N$ el punto medio de $AB'$, demuestre que los triángulos $SB'M$ y $SA'N$ son semejantes. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. limac 638 publicaciones limac #1 h 28 de julio de 2010, 6:17 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El conjunto $M = \{1, 2, . . . , 2n\}$ está particionado en $k$ subconjuntos disjuntos $M_1,M_2, \dots, M_k,$ donde $n \ge k^3 + k.$ Demuestre que existen números pares $2j_1, 2j_2, \dots, 2j_{k+1}$ en $M$ que están en uno y el mismo subconjunto $M_i$ $(1 \le i \le k)$ tales que los números $2j_1 - 1, 2j_2 - 1, \dots, 2j_{k+1} - 1$ también están en uno y el mismo subconjunto $M_j (1 \le j \le k).$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. codyj 723 publicaciones codyj #1 h 11 de julio de 2015, 2:03 AM • 10 Y Y por RadioActive, anantmudgal09, 62861, Tawan, Davi-8191, ValidName, yugrey, Purple_Planet, Adventure10, cubres La sucesión $a_1,a_2,\dots$ de enteros satisface las condiciones: (i) $1\le a_j\le2015$ para todo $j\ge1$ , (ii) $k+a_k\neq \ell+a_\ell$ para todo $1\le k<\ell$ . Demuestre que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ para los cuales \[\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2\] para todos los enteros $m$ y $n$ tales que $n>m\ge N$ . Propuesto por Ivan Guo y Ross Atkins, Australia Esta publicación ha sido editada 6 veces. Última edición por djmathman, 14 de junio de 2018, 11:21 AM Razón: autores en cursiva Z K Y