La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 25 de sep. de 2021, 2:54 a. m. Y por Rosa y Sara juegan con un triángulo $ABC$ , recto en $B$ . Rosa comienza marcando dos puntos interiores de la hipotenusa $AC$ , luego Sara marca un punto interior de la hipotenusa $AC$ diferente a los de Rosa. Luego, desde estos tres puntos se trazan las perpendiculares a los lados $AB$ y $BC$ , formando la siguiente figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/9/9/c964bbacc4a5960bee170865cc43902410e504.png Sara gana si el área de la superficie sombreada es igual al área de la superficie no sombreada, en otro caso gana Rosa. Determine quién de las dos tiene una estrategia ganadora. Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por parmenides51, 9 de dic. de 2022, 9:42 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fasttrust_12-mn 119 publicaciones fasttrust_12-mn #1 h 15 de agosto de 2024, 5:19 PM • 1 Y Y por PikaPika999 Encuentre todos los enteros positivos $a,b$ y $c$ tales que $\frac{a+b}{a+c}=\frac{b+c}{b+a}$ y $ab+bc+ca$ sea un número primo. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por fasttrust_12-mn, 15 de agosto de 2024, 5:19 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fasttrust_12-mn 119 publicaciones fasttrust_12-mn #1 h 15 de agosto de 2024, 5:25 PM • 1 Y Y por Rounak_iitr En el triángulo $ABC$, sea $M$ el punto medio del lado $BC$, y $N$ el punto medio del segmento $AM$. El círculo que pasa por $N$ y es tangente a la recta $AC$ en $A$ interseca al segmento $AB$ nuevamente en $P$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $BPM$ es tangente a la recta $AM$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por fasttrust_12-mn, 15 de agosto de 2024, 5:42 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fasttrust_12-mn 119 publicaciones fasttrust_12-mn #1 h 15 de agosto de 2024, 5:38 PM Y por Dado un entero \( n \geq 1 \), Jo-Ané escribe alternativamente cruces ( \( \mathcal{X} \) ) y círculos ( \( \mathcal{O}\) ) en las celdas de una cuadrícula cuadrada con \( 2n + 1 \) filas y \( 2n + 1 \) columnas: primero escribe una cruz en una celda, luego un círculo en una segunda celda, después una cruz en una tercera celda, y así sucesivamente. Cuando la tabla está completamente llena, su puntuación se calcula como la suma \( \mathcal{X}+ \mathcal{O} \), donde \( \mathcal{X} \) es el número de filas que contienen más cruces que círculos y \( \mathcal{O} \) es el número de columnas que contienen más círculos que cruces. Determine, en términos de \( n \), la puntuación más alta posible que Jo-Ané puede obtener. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por fasttrust_12-mn, 15 de agosto de 2024, 5:40 PM Z K Y

Considere $m$ segmentos en la recta real. Cada segmento tiene sus dos extremos en el conjunto de enteros $\{1, 2, \ldots, 2024\}$, y no hay dos segmentos que tengan la misma longitud. Ningún segmento está contenido enteramente en otro segmento, pero dos segmentos pueden solaparse parcialmente entre sí. ¿Cuál es el valor máximo de $m$?

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fasttrust_12-mn 119 publicaciones fasttrust_12-mn #1 h 16 de agosto de 2024, 4:21 a. m. • 1 Y Y por cheikhennahoui Encuentre todos los enteros $n$ para los cuales $n^7-41$ es el cuadrado de un entero Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Peter 3615 publicaciones Peter #1 h 25 de abr. de 2005, 5:24 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Estamos en el año 2005. Según una leyenda, existe un monstruo que despierta de vez en cuando para devorar a todos los que están resolviendo este problema, y luego vuelve a dormirse durante tantos años como la suma de los dígitos de ese año. El monstruo atacó por primera vez AoPS en el año +234. Demuestre que usted está a salvo este año, así como durante los próximos 10 años. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Amir Hossein, 14 de ene. de 2025, 9:01 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Peter 3615 publicaciones Peter #1 h 28 de sep. de 2005, 3:37 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Comenzando con dos puntos A y B, se construyen algunos círculos y puntos como se muestra en la figura: el círculo con centro A que pasa por B, el círculo con centro B que pasa por A, el círculo con centro C que pasa por A, el círculo con centro D que pasa por B, el círculo con centro E que pasa por A, el círculo con centro F que pasa por A, el círculo con centro G que pasa por A (creo que la redacción no es muy rigurosa, debe asumir las intersecciones a partir del dibujo). Demuestre que $M$ es el punto medio de $AB$. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/4/2352ab21cc19549f0381e88ddde9dce4299c2e.png Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Amir Hossein, 14 de ene. de 2025, 8:57 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Peter 3615 publicaciones Peter #1 h 25 de abr. de 2005, 5:29 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 (a) Sea M un punto interior del cuadrilátero convexo ABCD. Demuestre que $|MA|+|MB| < |AD|+|DC|+|CB|$ . (b) Sea M un punto interior del triángulo ABC. Note $k=\min(|MA|,|MB|,|MC|)$ . Demuestre que $k+|MA|+|MB|+|MC|<|AB|+|BC|+|CA|$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Peter 3615 publicaciones Peter #1 h 28 de sep. de 2005, 2:43 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dos triángulos rectángulos isósceles congruentes (con longitud de base 1) se deslizan sobre una línea como en la imagen. ¿Cuál es el área máxima de superposición? https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/a/8/807bb5b760caaa600f0bac95358963a902b1e7.png Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Amir Hossein, 14 de ene. de 2025, 9:04 p. m. Z K Y